Всего на сайте:
282 тыс. 988 статей

Главная | Математика

Формула парабол (Симпсона)  Просмотрен 337

 

Если заменить график функции у = f (x) на

каждом частичном отрезке [xi – 1, xi] не прямыми,

а дугами парабол, то получим более точную фор-

мулу приближенного вычисления определенного

интеграла.

Нетрудно показать, что площадь криволи-

нейной трапеции, ограниченной параболой

y = ax2 + bx + c, проходящей через точки А(0, у0),

В( , у1), С(h, у2), и прямыми х = 0, х = h, у = 0 Рис.5.

(рис.5), равна

 

S = = (2ah2 + 3bh + 6c)

или в ординатах точек А, В, С,

 

S = ( у0 + 4у1 + у2 ). (5)

 

Разобьем отрезок [a, b] на 2n (четное число) равных отрезков точками

 

a = x0 < x1 < x2 < … < x2n -2 < x2n -1 < x2n= b

 

и представим интеграл в виде суммы

 

= + + … + . (6)

 

Проведем через точки xk прямые, параллель-

ные оси Оу, и обозначим через

 

А=М0, М1, М2, … , М2n -2, М2n -1, М2n =В

 

точки пересечения этих прямых с кривой у = f (x)

(рис.6). Обозначим через у0, у1, у2, …, у2n-2, у2n-1,

у2n ординаты этих точек. Через каждые три точки

М2k-2, М2k-1, М2k (k = 1,2,…,n) проведем параболу с

вертикальной осью симметрии (через три точки, не Рис.6.

лежащие на одной прямой, можно провести единст-

венную параболу). В результате получим n криволинейных трапеций, ограниченных сверху параболами, площадь каждой из которых по формуле (5) равна

 

= ( у2k-2 + 4у2k-1 + у2k ).

 

Подставив в правую часть равенства (4) вместо интегралов их приближенные значения, получим приближенную формулу

 

= (у0 + у2n + 2(у2 + у4 + …+ у2n-2) + 4(у1 + у3 + …+ у2n-1)). (7)

 

Эта формула называется формулой парабол, или формулой Симпсона.

Предыдущая статья:Формула прямоугольников Следующая статья:Порядок выполнения лабораторной работы.. На втором этапе преподаватель предлагает воспользоваться математическим пакетом Mathcad ..
page speed (0.0122 sec, direct)