Всего на сайте:
303 тыс. 117 статей

Главная | Охрана труда, БЖД

Свойства вероятности случайного события  Просмотрен 885

Прежде всего отметим наиболее очевидные свойства вероятностей.

1. Вероятность любого случайного события А удовлетворяет следующему условию:

.

Для классического и статистического определений вероятности это свойство следует из того, что всегда справедливо соотношение (а для геометрического всегда имеем ).

2. Вероятность достоверного события D всегда равна 1:

Р(D) = 1.

При этом, очевидно, достоверным событием называют такое событие, которое всегда произойдет при данном комплексе условий. В этом случае mA = n для любой серии испытаний.

3. Вероятность невозможного события Н всегда равна нулю:

Р(Н)=0.

При этом невозможным событием называют событие, которое никогда не произойдет при данном комплексе условий, т. е. здесь всегда mA=0.

Замечание. Если событие невозможно, то его вероятность равна нулю, но обратное утверждение неверно.

Для разъяснения этой ситуации воспользуемся геометрическим определением вероятности. Стреляя по мишени, в которую нельзя не попасть, попадаем в какую-то конкретную точку. Однако вероятность попадания в эту (и любую другую) точку равна нулю, так как геометрическая точка не имеет протяженности в пространстве (ни длины, ни ширины, ни площади). Отлична от нуля вероятность попадания в какую-то область (отрезок прямой, часть плоскости или пространства).

В применении вероятностных методов очень большую роль играют так называемые практически достоверные и практически невозможные события.

Событие А называется практически достоверным, если его вероятность очень близка к единице, т. е.

Р(А) 1.

Событие В называется практически невозможным, если его вероятность очень близка к нулю, т. е. Р(В) 0.

Из последнего определения, например, следует, что если Р(В) 0, то при однократной реализации данного комплекса условий можно с большой степенью уверенности предполагать, что событие В не произойдет (и не принимать его во внимание). Например, вероятность Р0 того, что в Москве за 1 ч не произойдет ни одного вызова подразделений пожарной охраны, в последние годы равна 0,00005. Это значит, что в среднем только 1 раз за
2О тыс.ч (т. е. за 2-3 года) может произойти такой случай (к принципам вычисления этой вероятности вернемся позже). Отсюда следует, что в сегодняшней Москве практически не может быть ни одного часа, когда на диспетчерские пункты не поступили бы вызовы подразделений пожарной охраны.

Чтобы познакомиться с другими, менее очевидными, свойствами вероятностей, придется ввести в рассмотрение некоторые вспомогательные понятия, относящиеся к случайным событиям.

Полная группа событий. Говорят, что несколько событий при данном комплексе условий образуют полную группу, если в результате реализации этого комплекса (проведения эксперимента) неизбежно должно появиться хотя бы одно из этих событий.

Несовместные события. Несколько событий в данном опыте называются несовместными, если никакие два из них не могут осуществиться вместе.

Противоположные события. Два события называют противоположными, если появление одного из них означает невозможность появления другого.

Противоположные события обычно обозначают А и (не А).

Следовательно, наступление события А означает невозможность наступления противоположного события . Очевидно, что противоположные события образуют полную группу событий и являются несовместными.

Пример. Событие А заключается в том, что в течение часа на диспетчерский пункт не поступит ни одного вызова подразделений пожарной охраны. Тогда противоположное событие означает, что в течение часа поступит не менее одного вызова.

Существует своеобразная “алгебра” событий, т. е. над событиями можно осуществлять некоторые алгебраические операции.

Суммой двух событийА и В называют событие С=А+В, состоящее в выполнении события А или В, или обоих событий вместе.

Суммой нескольких событийназывают событие, состоящее в выполнении хотя бы одного из этих событий. Очевидно, например, что сумма противоположных событий А и является достоверным событием D, т. е. А+ =D.

Произведением двух событийА и В называют событие F = АВ, состоящее в совместном выполнении события А и события В. Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном выполнении всех этих событий.

Существуют правила сложения и умножения вероятностей случайных событий, позволяющие вычислять вероятности сложных событий, если известны вероятности событий их составляющих.

Правило сложения вероятностей. Пусть случайные события А и В имеют вероятности появления Р(А) и Р(В). Предположим, что они несовместные.

Тогда справедливо равенство

Р(А + В)=Р(А) + Р(В),

означающее, что вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме их вероятностей.

Очевидность этого правила легко усматривается из приведенных выше подходов к определению вероятности случайного события. Например, из классического определения следует: если mA - число случаев, благоприятствующих наступлению события А, и mB - число случаев, благоприятствующих наступлению события В, то наступлению суммы этих событий А + В благоприятствует
mA + mB случаев из n возможных. Тогда

.

В случае совместных событий А и В правило сложения вероятностей принимает следующий вид:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ),

где Р(АВ) - вероятность совместного наступления событий А и В.

Предыдущая статья:Вероятность случайного события Следующая статья:Следствия из правила сложения вероятностей
page speed (0.0148 sec, direct)