Всего на сайте:
282 тыс. 988 статей

Главная | Физика

Примеры решения простейших задач  Просмотрен 818

Задача 1.1. Уравнение движения материальной точки вдоль оси имеет вид , где А = 2 м, В = 1 м/с, С = –0,5 м/с3. Найти координату, скорость и ускорение, точки в момент времени 2 с.

Дано: Решение: Координату х найдем, подставив в уравнение движения числовые значения коэффициентов А, В и С и времени t: Мгновенная скорость есть первая производная от координаты по времени: В момент времени t = 2 с:
x = ? a = ? v = ?  

Ускорение точки найдем, взяв первую производную от скорости по времени:

В момент времени t=2 с

Задача 1.2.Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону j = А+Вt+Сt2, где А = 10 рад, В = 20 рад/с, С = –2 рад/с2. Найти полное ускорение точки, находящейся на расстоянии 0.1 м от оси вращения, для момента времени t=4 с.

Дано: Решение: Полное ускорение точки, движущейся по кривой линии, может быть найдено как геометрическая сумма тангенциального ускорения , направленного по касательной траектории, и нормального ускорения , направленного к центру кривизны траектории (рис 1.1.):
a = ?  

 

Так как векторы и взаимно перпендикулярны, то абсолютное значение ускорения (1) Тангенциальное и нормальное ускорения точки вращающегося тела выражаются формулами: где — угловая скорость тела; — его угловое ускорение. Подставляя выражение для и в формулу (1), находим:
Рис. 1.1  

(2)

Угловую скорость найдем, взяв производную угла поворота по времени:

В момент времени t=4 с угловая скорость

Угловое ускорение найдем, взяв первую производную от угловой скорости по времени:

Это выражение не содержит времени; следовательно, угловое ускорение заданного движения постоянно. Подставляя найденные значения и и заданное значение r в формулу (2), получим:

Задача 1.3.При выстреле из пружинного пистолета вертикально вверх пуля массой 20 г поднялась на высоту 5 м. Определить жесткость k пружины пистолета, если она была сжата на 10 см. Массой пружины пренебречь.

Дано:   Решение: Воспользуемся законом сохранения энергии, Но прежде проследим за энергетическими превращениями, с которыми связан выстрел. При зарядке пистолета сжимается пружина и совершается работа , в результате чего пружина
k=?  

приобретает потенциальную энергию . При выстреле потенциальная энергия пружины переходит в кинетическую энергию T2 пули, а затем при подъеме ее на высоту h превращается в потенциальную энергию пули. Если пренебречь потерями энергии в этой «цепочке» энергетических превращений, то на основе закона сохранения энергии можно записать

(1)

Найдем работу . Сила F1, сжимающая пружину, является переменной: в каждый момент она по направлению противоположна силе упругости F и численно равна ей. Сила упругости, возникающая в пружине при её деформации, определяется по закону Гука: F=kx, где х — абсолютная деформация пружины. Работу переменной силы вычислим как сумму элементарных работ. Элементарная работа при сжатии пружины на dx выразится формулой Интегрируя в пределах от 0 до х, получим:

(2)

Потенциальная энергия пули на высоте h определится по формуле:

(3)

где g — ускорение свободного падения.

Подставив в (1) выражение из (2) и из (3), найдем:

Откуда:

(4)

Проверим, дает ли полученная формула единицу жесткости k. Для этого в правую часть формулы (4) вместо величин подставим их единицы:

Убедившись, что полученная единица Н/м является единицей жесткости, подставим в формулу (4) значения величин и произведем вычисления:

Задача 1.4.Через блок в виде сплошного диска, имеющего массу 80 г (рис. 1.2), перекинута тонкая, гибкая нить, к концам которой подвешены грузы с массами 100 г и 200 г. С каким ускорением будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе? Трением и массой нити пренебречь.

Дано: Решение: Воспользуемся основными уравнениями динамики поступательного и вращательного движений. Для этого рассмотрим силы, действующие на каждый груз в отдельности и на блок. На первый груз действуют две силы: сила тяжести и сила упругости (сила натяжения нити) . Спроектируем эти
 

силы на ось х, которую направим вертикально вниз, и напишем уравнение движения (второй закон Ньютона):

(1)

Уравнение движения для второго груза запишется аналогично:

(2)

Под действием двух моментов сил и относительно оси, перпендикулярной плоскости чертежа, блок приобретает угловое ускорение:

Согласно основному уравнению динамики вращательного движения (3) где — момент инерции блока (сплошного диска) относительно оси z. Согласно третьему закону Ньютона, с учетом невесомости нити Воспользовавшись этим, подставим в уравнение (3) вместо и выражения Т1 и Т2, получив
Рис. 1.2  

их предварительно из уравнений (1) и (2):

После сокращения на r и перегруппировки членов найдем

(4)

Формула (4) позволяет массы выразить в граммах, как они даны в условии задачи, а ускорение — в единицах СИ. После подстановки числовых значений в формулу (4) получим

Задача 1.5.Платформа в виде сплошного диска радиусом 1,5 м и массой 180 кг вращается по инерции около вертикальной оси с частотой 10 об/мин. В центре платформы стоит человек массой 60 кг. Какую линейную скорость относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?

Дано: R = 1,5 м m = 180 кг n = 10 об/мин= =1/6 об/c. Решение: Платформа вращается по инерции. Следовательно, момент внешних сил относительно оси вращения, совпадающей с геометрической осью платформы, равен нулю. При этом условии момент импульса Lz системы платформа — человек остается постоянным: (1)
 

где Jz — момент инерции платформы с человеком относительно оси вращения, — угловая скорость платформы. Момент инерции системы равен сумме моментов инерции тел, входящих в состав системы, поэтому, где J1 — момент инерции платформы; J2 — момент инерции человека.

С учетом этого равенства (1) примет вид:

или

(2)

где значения моментов инерции J1 и J2 относятся к начальному состоянию системы; - к конечному. Момент инерции платформы относительно оси вращения z при переходе человека не изменяется: . Момент инерции человека относительно той же оси будет изменяться. Если рассматривать человека как материальную точку, то его момент инерции J2 в начальном положении (в центре платформы) можно считать равным нулю. В конечном положении (на краю платформы) момент инерции человека: Подставим в формулу (2) найденные выражения моментов инерции, а также выразим начальную угловую скорость вращения платформы с человеком через частоту вращения n ( ) и конечную угловую скорость — через линейную скорость v человека относительно пола :

После сокращения на R2 и простых преобразований находим интересующую нас скорость:

Подставим числовые значения физических величин в СИ и произведем вычисления:

Задач 1.6. Ракета установлена на поверхности Земли для запуска в вертикальном направлении. При какой минимальной скорости v1, сообщенной ракете при запуске, она удалится от поверхности на расстоянии, равное радиусу Земли ) Всеми силами, кроме силы гравитационного взаимодействия ракеты и Земли пренебречь.

Дано: Решение: Со стороны Земли на ракету действует сила тяжести. При неработающем двигателе под действием силы тяжести механическая энергия ракеты изменяться не будет.
=?  

Следовательно,

(1)

где Т1, П1 и Т2, П2 — кинетическая и потенциальная энергии ракеты после выключения двигателя в начальном (у поверхности Земли) и конечном (на расстоянии, равном радиусу Земли) состояниях. Согласно определению кинетической энергии

(2)

Потенциальная энергия ракеты в начальном состоянии

(3)

По мере удаления ракеты от поверхности Земли ее потенциальная энергия возрастает, а кинетическая — убывает. В конечном состоянии кинетическая энергия Т2 станет равной нулю, а потенциальная — достигает максимального значения:

(4)

Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия тел, бесконечно удаленных друг от друга, принимается равной нулю. Подставляя выражения Т1, П1 и Т2, П2 в (1), получаем:

.

Откуда:

,

где g=GM/ -ускорение свободного падения у поверхности Земли.

Подставим числовые значения величин и произведем вычисления:

Задача 1.7. Частица массой 0,01 кг совершает гармонические колебания с периодом 2 с. Полная энергия колеблющейся частицы 0,1 мДж. Определить амплитуду А колебаний и наибольшее значение силы Fmax, действующей на частицу.

Дано: T = 2 c E = 0,1 мДж = = Дж Решение: Для определения амплитуды колебаний воспользуемся выражением полной энергии частицы Подставив сюда выражение и выразив амплитуду, получим:
A=? Fmax=?  

(1)

Подставим числовые значения величин и произведем вычисления:

Так как частица совершает гармонические колебания, то сила, действующая на нее, является квазиупругой и, следовательно, может быть выражена соотношением |F|= kx, где k — коэффициент квазиупругой силы: х — смещение колеблющейся точки. Максимальное значение сила приобретает при максимальном смещении хмах, равном амплитуде, т.е.

(2)

Коэффициент k выразим через период колебаний:

(3)

Подставим в уравнение (2) выражения для k из формулы (3) и А из формулы (1), после сокращений и упрощений получим:

Произведем вычисления:

H = 4.44 Н.

Задача 1.8. Складываются два колебания одинакового направления, выраженные уравнениями где Построить векторную диаграмму сложения этих колебаний и написать уравнение результирующего колебания.

Дано: ; T=2 c.   Решение: Для построения векторной диаграммы сложения двух колебаний одного направления надо фиксировать какой-либо момент времени. Обычно векторную диаграмму строят для момента времени t=0. Преобразовав оба уравнения к канонической форме получим:
X=f(t)?  

Отсюда видно, что оба складываемых гармонических колебаний имеют одинаковую циклическую частоту Начальные фазы первого и второго колебаний соответственно равны:

 

 

Произведем вычисления:

Изобразим векторы А1 и А2. Для этого отложим отрезки длинной А1 = 3 см и А2 = 2 см под углами = 300 и = 600 к оси Ох. Результирующее колебание будет происходить с той же частотой и амплитудой , равной геометрической сумме амплитуд А1 и А2: Согласно теореме косинусов, Начальную фазу результирующего
Рис. 1.3  

колебания можно определить непосредственно из векторной диаграммы (рис. 1,3):

Произведем вычисления:

или Так как результирующее колебание является гармоническим, имеет ту же частоту, что и слагаемые колебания, то его можно записать в виде

где А = 4,84 см,

(1) (2)
Задача 1.9. Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях, уравнения которых:

(1)

(2)

где А1 = 1 см; А2 = 2 см; . Найти уравнение траектории точки. Построить траекторию с соблюдением масштаба и указать направление движения точки.

Дано: Решение: Чтобы определить траекторию точки исключим время из уравнений (1) и (2). Заметив, что , применим формулу косинуса половинного угла: Используя это соотношение, можно написать: (3) (4)
Y = f(x)?  

Откуда:

(5)

Полученное уравнение представляет собой уравнение параболы, ось которой лежит на оси Ох. Как показывают уравнения (1) и (2), амплитуда колебаний точки по оси Ох равна 1, а по оси Оу — 2. Следовательно, абсциссы всех точек траектории заключены в пределах от –1 до +1, а ординаты – от –2 до +2. Для построения траектории найдем по уравнению (3) значения у, соответствующие ряду значений х, удовлетворяющих условию ½х½ 1:

x   х
-1 ±1,41  
-0,75 ±0,71 0,5 ±1,73  
-0,5 ±1 ±2  

Начертив координатные оси и выбрав единицу длины — сантиметр, построим точки. Соединив их плавной кривой. Получим траекторию результирующего колебания точки. Она представляет собой часть параболы, заключенной внутри прямоугольника амплитуд АВСD (рис.1.4). Из уравнений (1) и (2) находим, что период колебаний точки по горизонтальной оси Тх=2 с, а по вертикальной оси Ту=4 с. Следовательно, когда точка совершит одно полное колебание по оси Ох, она совершит только половину полного колебания по оси Оу.

В начальный момент (при t=0) имеем: х = 1, у = 2. Точка находится в положении А. При t = 1 с получим: х = –1 и у = 0. Материальная точка находится в вершине параболы. При t = 2 с получим: х = 1 и у = –2. Материальная точа находится в положении D. После этого она будет двигаться в обратном направлении. Задача 1.10.Плоская волна распространяется вдоль прямой со скоростью 20 м/с. Две точки, находящиеся на этой прямой, на расстояниях 12 м и 15 м от источника волн, колеблются с разностью фаз 0,75 p. Найти длину, волны написать уравнение волны и
Рис. 1.4  

найти смещение указанных точек в момент времени 1,2 с, если амплитуда колебаний 0,1 м.

Дано: v=20 м/c х1=12 м х2=15 м Dj=0,75 p A=0,1 м t=1,2 с. Решение: Точки, находящиеся друг от друга на расстоянии, равном длине волны l, колеблются с разностью фаз, равной 2p; точки, находящиеся друг от друга на любом расстоянии Dх, колеблются с разностью фаз, равной Решая это равенство относительно l, получаем: . (1)
l=?  

Подставив числовое значение величин, входящих в выражение (1), и выполнив арифметические действия, получим:

Для того чтобы написать уравнение плоской волны, надо еще найти циклическую частоту w. Так как w = 2p/Т, где Т = l/v — период колебаний, то .Произведем вычисления:

Зная амплитуду А колебаний, циклическую частоту w и скорость v распространения волны, можно написать уравнение плоской волны для данного случая:

(2)

где А = 0,1 м; v = 20 м/с.

Чтобы найти смещение указанных точек, достаточно в уравнение (2) подставить значения t и х:

 

Предыдущая статья:Активное сопротивление Следующая статья:Формирование культуры здорового и безопасного образа жизни
page speed (0.0218 sec, direct)