Всего на сайте:
248 тыс. 773 статей

Главная | Механика

Характеристики динамики системы в области времени (переходная и импульсно-переходная функции).  Просмотрен 411

  1. Лекция 1.3 Математическое моделирование системы управления на основе преобразования Лапласа. Структурная схема системы управления.
  2. Примечание. Основные свойства преобразования Лапласа используемые в дисциплине: 1..
  3. Передаточная функция
  4. Простейшие соединения динамических звеньев и их передаточные функции.
  5. Процедура получения структурной схемы
  6. Частотная характеристика связана со спектральном представлением процесса.
  7. Существенно, что нижний предел в интеграле обратного преобразования Фурье должен быть равным бесконечности.
  8. Частотная характеристика (частотная передаточная функция)
  9. Разность фазовых спектров при одинаковой частоте называют фазовой частотной характеристикой ( ФЧХ).
  10. Лекция 1.5. Логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ).
  11. Отрезки оси частот, крайние значения которых отличаются в 10 раз, называются декадами.
  12. Асимптотическое свойство ЛАЧХ

Для сравнения динамических свойств различных систем, или одной системы при различных параметрах, используются характеристики, представляющие их реакции на типовые воздействия.

Такими типовыми воздействиями являются:

- ступенчатая единичная функция;

-импульсная единичная функция.

Применение таких (быстроизменяющихся) воздействий позволяет сравнивать различные системы в наиболее острой динамической ситуации.

Переходной функцией называют реакцию системы на ступенчатую единичную функцию, математически описывающуюся выражением:

Переходная функция обозначается . Рис.3.1.а.

Переходная функция широко используется при экспериментальных исследованиях динамикисистемы, а также при ее моделировании на ЭВМ. Она дает такие показатели процесса как: быстродействие, время затухания переходной реакции системы, перерегулирование.

При теоретическом исследовании процессов динамики используется импульсно-переходная функция.

Импульсно-переходной (или весовой) функцией называют реакцию системы на" ударное" импульсное воздействие, математически представляемое в виде мгновенного импульса бесконечно-большой амплитуды и описываемого -функцией Дирака (функция с локализованным на бесконечно-малом интервале бесконечно-большим значением):

Математически такая функция является пределом единичного ступенчатого импульса ( Рис.3.1.б):

при

 

Физическое представление о функции Дирака связано с поведением ускорения при ударе двух абсолютно твердых тел.

Импульсно-переходная функция в теории линейных систем играет важную роль при изучении реакции системы на воздействие произвольного вида. С этой ролью связано ее другое понятие - "весовая" функция.

Рассмотрим реакцию системы на непрерывное воздействие произвольного вида .

Предварительно укажем, что введение функции Дирака позволяет представить любое произвольное воздействие в виде бесконечно-большой суммы мгновенных импульсов. Покажем это.

Разобьем ось времени на интервалы равной длины с шагом Рис.3.2 .

Поместим в начале координат единичный ступенчатый импульс . Выберем на оси времени середину некоторого "к"-го интервала и обозначим этот момент времени . Перенесем в данную точку на оси времени единичный ступенчатый импульс. Математически этот импульс опишется выражением:

. Импульс такой же продолжительности но с ординатой определится выражением:

Образуем такой импульс в каждом интервале. В результате получаем ступенчатую функцию апроксимирующую непрерывную исходную функцию. Данная функция полностью описывается выражением суммы последовательности вида:

При неограниченном уменьшении интервала ступенчатая функция преобразуется в гладкую функцию, а выражение для последовательности в интеграл вида:

Если рассматривать процесс в интервале времени от 0 доt, то последнее выражение перепишется в виде:

(Интеграл – бесконечно – большая сумма бесконечно-малых величин)

Таким образом, получено выражение, показывающее, что непрерывная функция времени представляется в виде бесконечно большой суммы мгновенных импульсов (бесконечно малых по продолжительности), с площадями равными значениям самой функции.

Поскольку рассматривается линейная система, то можно воспользоваться принципом суперпозиции (реакция на сумму воздействий равна сумме независимых реакций на каждое воздействие в отдельности). Так как, реакция на мгновенный импульс определена, в виде импульсно-переходной функции , а значение ординаты играет роль масштабирующего множителя, то при нулевых начальных условиях и произвольном конечном времени наблюдения , получаем:

Здесь

момент времени наблюдения реакции(произвольный конечный момент времени);

произвольный момент времени предшествующий моменту наблюдения.

 

С точки зрения физики явления данное выражение раскрываетроль импульсно-переходной функции в формировании реакции системы на произвольное воздействие для каждого момента наблюдения этой реакции.

Так, согласно данному выражению каждое значение воздействия в момент времени , предшествующий моменту наблюдения(t), вносит свой вклад в значение реакции в момент наблюдения. Вес этого "вклада" определяется импульсно-переходной функцией, представляющей реакцию на данное значение воздействия, начинающуюся в момент времени и заканчивающуюся в момент времени t.На Рис.3.3 . приведена иллюстрация данного явления.

Поскольку реакция не может возникнуть раньше воздействия

( связь причины и следствия), то справедливо равенство:

при .Это равенство выражает условие физической возможности существования системы.

При выполнении расчетов по формуле свертки целесообразно обратить время для весовой функции, перенеся ее начало в точку момента наблюдения Рис.3.4 . В этом случае площадь под произведением двух функций равна значению реакции в момент времени

 

Предыдущая статья:Полную информацию о динамике процессов в таких системах несет обыкновенное дифференциальное уравнение (или система дифференциальных уравнений). Следующая статья:Лекция 1.3 Математическое моделирование системы управления на основе преобразования Лапласа. Структурная схема системы управления.
page speed (0.0169 sec, direct)