Всего на сайте:
282 тыс. 988 статей

Главная | Математика

Абсолютно непрерывные функции  Просмотрен 1122

 

Свойства функций, монотонных на отрезке:

 

1) Всякая монотонная на отрезке [a , b] функция f(x) имеет на [a , b]

не более чем счётное число точек разрыва, причём все точки разрыва I рода.

 

2) Всякая монотонная на отрезке [a , b] функция f(x) п. в. на [a , b]

дифференцируема, причём её производная f’(x) суммируема и (в случае

возрастающей на отрезке [a , b] функции f(x) ) справедливо неравенство:

+ пример [1, стр. 341; 2, стр. 232]

 

 

Функция f(x) называется абсолютно непрерывной на [a , b] , если

 

 

Задача 26.Покажите, что в определении абсолютно непрерывной функции можно

вместо любого конечного набора интервалов взять любой не более чем

счётный набор интервалов, а в последнем неравенстве можно заменить

сумму модулей на модуль суммы или взять вместо модуля разности

|f(bi) – f(ai)| колебание функции f(x) на [ai , bi] .

 

 

Свойства абсолютно непрерывных функций:

 

1) Всякая абсолютно непрерывная на отрезке [a , b] функция f(x) будет и

равномерно непрерывной на [a , b] . Обратное, вообще говоря, неверно.

 

2) Всякая липшицируемая на отрезке [a , b] функция f(x) будет и

абсолютно непрерывной на [a , b] .

 

3) Если h(x) = g(f(x)) и f(x) абсолютно непрерывна на отрезке [a , b] , а g(y)

липшицируема на отрезке [c , d] = f([a , b]) , то и h(x) будет абсолютно

непрерывной на отрезке [a , b] (то есть композиция абсолютно непрерывной и

липшицируемой функций абсолютно непрерывна).

4) Если h(x) = g(f(x)) и f(x) монотонна и абсолютно непрерывна на отрезке [a , b],

а g(y) абсолютно непрерывна на отрезке [c , d] = f([a , b]) , то и h(x) будет

абсолютно непрерывной на отрезке [a , b] (то есть композиция монотонной

абсолютно непрерывной и абсолютно непрерывной функций абсолютно непрерывна).

 

Задача 27.Проведите доказательство свойства 4) .

 

5) Всякая непрерывная и всюду на [a , b] дифференцируемая функция f(x)

с ограниченной на [a , b] производной f’(x) будет липшицируема,

а следовательно и абсолютно непрерывна на [a , b] .

 

6) Линейная комбинация абсолютно непрерывных функций абсолютно непрерывна.

 

7) Произведение абсолютно непрерывных функций абсолютно непрерывно.

 

8) Частное абсолютно непрерывных функций абсолютно непрерывно,

если только знаменатель не обращается в нуль.

 

Задача 28.Проведите доказательство свойства 8) .

 

 

9) Всякая абсолютно непрерывная на [a , b] функция имеет на [a , b]

ограниченную вариацию и представима на [a , b] в виде разности двух

монотонных и абсолютно непрерывных функций.

 

10) Всякая абсолютно непрерывная на отрезке [a , b] функция f(x) п. в. на [a , b]

дифференцируема, причём её производная f’(x) суммируема на [a , b]

и для любого х из [a , b] справедливо:

11) Всякая абсолютно непрерывная на отрезке [a , b] функция f(x) с точностью

до константы представима на [a , b] в виде интеграла Лебега от некоторой

суммируемой функции:

Схема зависимостей между свойствами

Предыдущая статья:Функции, суммируемые с квадратом Следующая статья:Вещественной функции на отрезке
page speed (0.0159 sec, direct)