Всего на сайте:
303 тыс. 117 статей

Главная | Физика

Пряма вирівнювання у разі, коли обидві змінні мають похибки  Просмотрен 367

Як правило, незалежні змінні задаються з відомою помилкою, тобто кожному значенню xi відповідає стандартне відхилення si і, отже, кожному значенню yiстандартне відхилення ,. Знаходження взаємозв'язку між у і х називається регресійним аналізом даних. Якщо цей взаємозв'язок лінійний, то за допомогою виміряних значень будується пряма регресії.

Нехай зміряні пари функціональних значень і їх стандартні відхилення наступні: хi і si, yi і . Необхідно визначити величини, що вирівнюються, Xі і Уі, а також числові значення А і Ву співвідношенні

.

Аналіз заснований на узагальненні мінімуму суми квадратичних помилок. Шукатимемо мінімум виразу

, (2.9)

де і — вага, вибирана відповідно до співвідношення (2.5).

Мінімум вирази (2.9) виходить шляхом прирівнювання нулю першої приватної похідної по Xі:

.

Умножаючи на і приводячи подібні члени, одержуємо

, (2.10)

де ефективна вага

. (2.11)

Враховуючи вираз (2.11), одержимо

.

Прирівнювання нулю похідної приводить до рівності

,

де ;

Вважаючи і , отримаємо

.

Нарешті, прирівнюємо нулю похідну . Тоді

.

Звідки слідує

,

де

.

Як наслідок

; . (2.12)

Користуватися співвідношеннями (2.12) безпосередньо неможливо, оскільки в , міститься величина А [див. (2.11)]. Тому А визначається методом ітерацій: процедура починається з деякого оцінного значення А (або навіть з А = 0), за допомогою якого обчислюється wі, потім з (2.12) визначається нове значення А і знов обчислюється wi з (2.11). Процес повторюється до тих пір, поки А не перестане змінюватися (з урахуванням заданої точності).

Критерієм правильності розрахунку може бути той факт, що при перестановці місцями положення прямої вирівнювання не змінюється.

Для обчислення стандартних відхилень величин А і В необхідні допоміжні величини:

; ;

Тоді

; (2.13)

. (2.14)

 

 

Предыдущая статья:Згладжування експериментальних залежностей по методу найменших квадратів Следующая статья:Теоретичні положення.. Вимірювання фізичної величини—це процес знаходження її значення дослід..
page speed (0.1102 sec, direct)