Всего на сайте:
303 тыс. 117 статей

Главная | Математика

Тема 2. Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве  Просмотрен 601

гл XVIII; [3] № 372, 382, 397, 405, 418, 421;

[1] гл. XIX § 1-4; [3] № 452, 455, 457, 496.

Разберите решениезадачи 4 данного пособия.

Задача 4. Даны координаты трех точек:

А (3; 0; —5), В(6, 2,1), С(12,-12,3).

Требуется: 1) записать векторы и в системе орт и найти модули этих векторов; 2) найти угол между векторами и ; 3) составить уравнение плоскости, проходящей че­рез точку С перпендикулярно вектору .

Решение. 1. Если даны точки и , то вектор через орты , , выражается следую­щим образом: = = а . (1)

Подставляя в эту формулу координаты точек А и В, имеем:

.

Подобным образом = (12-3) +(-12-0) +|(3+5) = 9 -12 +8 .

Модуль вектора вычисляется по формуле

. (2)

Подставляя в формулу (2) найденные ранее координаты векторов и , находим их модули:

, .

  1. Косинус угла , образованного векторами и , равен их скалярному произведению, деленному на произведение их модулей

cоs = . (3)

Так как скалярное произведение двух векторов, заданных своими координатами, равно сумме попарных произведений одноименных координат, то * =3*9+2*(-12)+6*8=51. Применяя (3), имеем:

cоs = соs ( ^ )= ; 64 '.

  1. Известно, что уравнение плоскости, проходящей через точку М0( ) перпендикулярно вектору , имеет вид

А (х-хо) +В (у-у0) + С(г-z0) =0. (4)

По условию задачи искомая плоскость проходит через точ­ку С(12; —12; 3) перпендикулярно вектору {3; 2; 6}. Подставляя в (4) А=3, В=2, С=6, х0=12, у0=—12, z0 = 3, получим:

3(х-12) +2(у+12)+6(z-3)=0,

3х+2у+6z-30=0 — искомое уравнение плоскости.

Вопросы для самопроверки

  1. Какие величины называются скалярными? векторны­ми?
  2. Какие векторы называются коллинеарными?
  3. Какие два вектора называются равными?
  4. Как сложить два вектора? Как их вычесть?
  5. Как найти координаты вектора по координатам точек его начала и конца?
  6. Назовите правила сложения, вычитания векторов, за­данных в координатной форме. Как умножить вектор на ска­ляр?
  7. Дайте определение скалярного произведения двух век­торов. Перечислите основные свойства скалярного произве­дения.
  8. Как найти скалярное произведение двух векторов по их координатам?
  9. Напишите формулу для определения угла между дву­мя векторами.
  10. Напишите условия: коллинеарности двух векторов; их перпендикулярности.
  11. Напишите общее уравнение плоскости.
  12. Напишите уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.
  13. Какой вид имеет уравнение плоскости, проходящей че­рез три данные точки?
  14. Напишите формулу для определения расстояния от точки до плоскости.
Предыдущая статья:ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Задача 1.Даны вершины треугольника АВС: А(—4; 8), В (5; —4), С( 10; 6).. Следующая статья:Тема 3. Элементы линейной алгебры
page speed (0.0966 sec, direct)