Всего на сайте:
248 тыс. 773 статей

Главная | Статистика

Предпосылок о стохастических и прочих свойствах составных частей этого уравнения.. (Эконометрия).  Просмотрен 573

  1. ТЕМА №3. ПРОСТАЯ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ.. (Эконометрия).
  2. Определение параметров при степенной зависимости. (Эконометрия).
  3. Определение параметров показательной регрессии. (Эконометрия).
  4. Определение параметров параболы. (Эконометрия).
  5. Ты регрессии и корреляции незначимы.. (Эконометрия).
  6. ТЕМА № 4. МНОГОФАКТОРНАЯ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ.. (Эконометрия).
  7. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ (Гетероскедастичность остатков).. (Эконометрия).
  8. Автокорреляция остатков. (Эконометрия).
  9. П.6. d-тест Дарбина-Уотсона на наличие автокорреляции возмущений (d-тест Д-У). (Эконометрия).
  10. Области принятия решений при d-тесте нулевой гипотезы с тремя альтернативными гипотезами.. (Эконометрия).
  11. При подозрении на автокорреляцию оценка по методу Эйткена может быть проведена только с использованием вспомогательной модели следую-. (Эконометрия).
  12. Точечные и интервальные прогнозы регрессанда. (Эконометрия).

Для линейной стохастической функции регрессии характерно то, что ее регрессоры (независимые переменные) не случайные (детерминированные) величины. Однако эта предпосылка не выполняется для многих прикладных моделей, поэтому в группу регрессоров включают стохастические величины и рассматривают обобщенные классические модели. При этом объект исследования представляют регрессионной функцией:

Y = f(x) + U

При изучении связей экономических показателей производства (деятельности ) используют различного вида уравнения линейной и нелинейной связи (регрессии).

Нелинейные регрессии делятся на два класса: нелинейные относительно переменных (но линейные по оцениваемымпараметрам ) – полиномы разных степеней,гипербола и другие функции; и нелинейные по оцениваемым параметрамстепенная, показательная, экспоненциальная и др. Внимание к линейным регрессиям объясняется ограниченной вариацией переменных и тем, что в большинстве случаев нелинейные формы связи с помощью простых преобразований, например логарифмирования или замены переменных, можно привести к линейной форме. При этом необходимо чтобы нормальный закон распределения в моделях имел, например, логарифм вектора возмущений, а не вектор как в случае линейной формы связи. Построение уравнения регрессии сводится к оценке ее параметров.

Относительно отклонений = Y - Ŷсделаем следующие предпосылки:

1) величина является случайной переменной;

2) математическое ожидание равно нулю;

3) дисперсия постоянна: для всех i и j;

4) значения независимы между собой.

Эконометрическая модель с двумя переменными (простая модель) имеет вид:

Ŷ = a0 + a1x + ε, (3.1)

где ε - случайная ( стохастическая ) составляющая. Предположим, что стохастическая составляющая нормально распределенная, имеет нулевое математическое ожидание и постоянную дисперсию . Тогда уравнение регрессии примет вид:

Ŷ = a0 + a1x

Для оценки параметров уравнения используют метод наименьших квадратов ( МНК ). МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака (регрессанда ) Y от теоретических Ŷ минимальна.

 

Для линейных и нелинейных уравнений, приводимых к линейным, составляется и решается следующая система нормальных уравнений относительно параметров регрессии а0 и а1:

 

na0 + Σxi.a1 = Σyi

Σxi.a0 + Σxi²a1 = Σ xiyi ( 3.2 )

 

Можно, так же, использовать формулы, которые следуют из этой системы:

 

а0 = y - а1 . x ; а1 = ( x.y - x . y )/ ( x2 ) - (x )2 ) (3. 3)

 

Определив значения а0 и а1 и подставив их в уравнение связи найдем Ŷ.

Известно, что если приведенные выше условия относительно отклонений выполняются, то оценки а и b , полученные с помощью метода наименьших квадратов, обладают следующими свойствами:

1. Оценки являются несмещенными, т.е.

математическое ожидание оценки каждого параметра равно его истинному значению: М(а) = ; М(b) = . Это вы­текает из того, что М( ) = 0, и говорит об отсутствии систематической ошибки в определении положения линии регрессии.

2. Оценки состоятельны, т. к. дисперсия оценок параметров при возрастании числа наблюдений стремится к нулю:

;

Иначе говоря, надежность оценки при увеличении выборки растет.

3. Оценки эффективны, они имеют наименьшую дисперсию по сравнению с любыми другими оценками данного параметра.

Перечисленные свойства не зависят от конкретного вида распределения ве­личин тем не менее обычно предполагается, что они распределены нормально. Эта предпосылка необходима для проверки статистической значимости сделан­ных оценок и определения для них доверительных интервалов.

Если предположения 3) и 4) нарушены, т. е. дисперсия возмущений непосто­янна или значения связаны друг с другом, то свойства несмещенности и со­стоятельности сохраняются, но свойства эффективности - нет.

К получению параметров модели :

Рассмотрим случай, когда имеется п наблюдений двух переменных х и у. Предположив, что у зависит от х, и необходимо подобрать уравнение

(1.1)

Расчетное значение зависимой переменной и отклонения для наблюдения i определяются уравнениями:

Сумма квадратов отклонений равна:

Тогда требование наименьших квадратов записывается в виде:

, (1.2)

т. е. сумма квадратов отклонений фактических ординат точек корреляционного поля от ординат, вычисленных по уравнению (1.1), должна быть наименьшей.

Метод нахождения параметров прямой, удовлетворяющей этому требованию, называется одношаговым методом наименьших квадратов(1-МНК).

Для парной линейной регрессии задача заключается в нахождении неизвест­ных параметров а и b, минимизирующих сумму квадратов отклонений, т. е. функцию S:

Значения а и b, удовлетворяющие минимуму функции S, находят из уравнений:

,

Выразим квадрат i-го остатка:

.

Суммируя по всем n наблюдениям, запишем S в виде:

Тогда условия минимизации функции S принимают вид:

Подставив в первое уравнение вместо и вместо , получим:

Следовательно,

Подставив полученное выражение для а во второе уравнение минимизации, имеем:

После преобразования получим:

Откуда

или

Так как показатель ковариации равен:

а дисперсия равна:

то параметр b можно выразить как:

Коэффициент корреляции определяется по формуле:

где - среднее значение произведений х и у; , - средние значения соответ­ствующих признаков; и - среднеквадратические отклонения, найденные по признаку х и по признаку у.

Коэффициент корреляции можно также установить через показатель ковариации:

Зная значения , , , можно вычислить коэффициенты корреляционного уравнения по следующим формулам:

.

Предыдущая статья:ТЕМА №3. ПРОСТАЯ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ.. (Эконометрия). Следующая статья:Определение параметров при степенной зависимости. (Эконометрия).
page speed (0.0135 sec, direct)