Всего на сайте:
248 тыс. 773 статей

Главная | Автоматизация производства

Критерий Михайлова  Просмотрен 2230

Описанные выше критерии устойчивости не работают, если передаточная функция системы имеет запаздывание, то есть может быть записана в виде

,

где t - запаздывание.

В этом случае характеристическое выражение замкнутой системы полиномом не является и его корни определить невозможно. Для определения устойчивости в данном случае используются частотные критерии Михайлова и Найквиста.

Порядок применения критерия Михайлова:

1) Записывается характеристическое выражение замкнутой системы:

Dз(s) = A(s) + B(s).e-ts.

2) Подставляется s = jw: Dз(jw) =Re(w) + Im(w).

3) Записывается уравнение годографа Михайлова Dз(jw) и строится кривая на комплексной плоскости.

Для устойчивой АСР необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова (см. рисунок 1.43), начинаясь при w = 0 на положительной вещественной полуоси, обходил последовательно в положительном направлении (против часовой стрелки) при возрастании w от 0 до ¥ n квадрантов, где n - степень характеристического полинома.

Если годограф Михайлова проходит через начало координат, то говорят, что система находится на границе устойчивости.

Пример.Характеристический полином замкнутой системы имеет вид (см. предыдущий пример):

D(s) = 2s4 + 5s3 + 10s2 + 6s + 1.

После подстановки s = jw получается выражение для годографа Михайлова:

D(jw) = 2(jw)4 + 5(jw)3 + 10(jw)2 + 6 jw + 1 = 2w4 - 5jw3 - 10w2 + 6 jw + 1 =

= ReD(w) + j.ImD(w),

где ReD(w) = 2w4 - 10w2 + 1 – действительная часть выражения годографа,

ImD(w) = - 5w3+ 6w - мнимая часть.

Далее, варьируя частоту w от 0 до бесконечности, рассчитываются точки годографа (см. таблицу 1.3) и на комплексной плоскости строится кривая (см. рисунок 1.44).

 

Таблица 1.3

w ReD(w) ImD(w)
  
0,1 0,1 0,9002
0,5 0,2 0,6032
0,5 -1,375
-7
-7
2,5 16,625
¥ ¥

 

Рисунок 1.44

 

Годограф Михайлова начинается на положительной действительной полуоси и последовательно обходит четыре квадранта (степень характеристического полинома также равна n = 4), следовательно, система устойчива. Это подтверждает результат, полученный в предыдущем примере. ¨

 

Предыдущая статья:Критерий Гурвица Следующая статья:Критерий Найквиста
page speed (0.0164 sec, direct)