Всего на сайте:
248 тыс. 773 статей

Главная | Автоматизация производства

Преобразования Лапласа  Просмотрен 2764

Исследование АСР существенно упрощается при использовании прикладных математических методов операционного исчисления, поскольку позволяет от решения ДУ перейти к решению алгебраических уравнений. Например, функционирование некоторой системы описывается ДУ вида

, (2.1)

где х и у - входная и выходная величины. Если в данное уравнение вместо x(t) и y(t) подставить функции X(s) и Y(s) комплексного переменного s такие, что

и , (2.2)

то исходное ДУ при нулевых начальных условиях равносильно линейному алгебраическому уравнению

a2 s2 Y(s) + a1 s Y(s) + a0 Y(s) = b1 X(s) + b0 X(s).

Такой переход от ДУ к алгебраическому уравнению называется преобразованием Лапласа, формулы (2.2) соответственно формулами преобразования Лапласа, а полученное уравнение - операторным уравнением.

Новые функции X(s) и Y(s) называются изображениями x(t) и y(t) по Лапласу, тогда как x(t) и y(t) являются оригиналами по отношению к X(s) и Y(s).

Переход от одной модели к другой достаточно прост и заключается в замене знаков дифференциалов на операторы sn, знаков интегралов на множители , а самих x(t) и y(t) - изображениями X(s) и Y(s).

 

Таблица 1.1 - Преобразования Лапласа

Оригинал x(t) Изображение X(s)
d-функция  
t
t2
tn
e-at
a.x(t) a.X(s)
x(t - a) X(s).e-as
sn.X(s)

 

Таблица 1.2 - Формулы обратного преобразования Лапласа (дополнение)

Изображение X(s) Оригинал x(t)  
a Î R, M Î R (a и М - действительные числа) M.e-at
a = a + j. w M = C + j.D (a и М – комплексные числа) 2.ea*t.[C.cos(w.t) - D.sin(w.t)] для пары комплексных корней  

 

Для обратного перехода от операторного уравнения к функциям от времени используется метод обратного преобразования Лапласа. Общая формула обратного преобразования Лапласа:

, (2.3)

где f(t) - оригинал, F(jw) - изображение при s = jw, j - мнимая единица, w - частота.

Эта формула достаточно сложна, поэтому были разработаны специальные таблицы (см. таблицы 1.1 и 1.2), в которые сведены наиболее часто встречающиеся функции F(s) и их оригиналы f(t). Они позволяют отказаться от прямого использования формулы (2.3). Более полные таблицы преобразований Лапласа можно найти, например, в [22, 23].

Существует несколько теорем преобразования Лапласа.

Теорема 1. Теорема линейности. Изображение суммы функций равно сумме изображений, то есть, если f1 имеет изображение F1(s) (или более кратко f1 « F1(s) ), f2 « F2(s) и т.д., то

a1.f1 + a2.f2 + … + an.fn « a1.F1(s) + a2.F2(s) + … + an.Fn(s).

Теорема 2. Теорема дифференцирования. Если f(t) имеет изображение F(s), то при нулевых начальных условиях (т.е. при f(0) = 0, f’(0) = 0 и т.д.) производные f(t) будут иметь изображения:

f’(t) « s.F(s) – для первой производной,

f ”(t) « s2.F(s) – для второй производной,

f(n)(t) « sn.F(s) – для n-й производной.

При ненулевых начальных условиях:

f’(t) « s.F(s) – f(0) – для первой производной,

f ”(t) « s2.F(s) – s.f(0) – f’(0) – для второй производной,

f(n)(t) « sn.F(s) – sn-1.f(0) - sn-2.f’(0) - … - f(n-1)(0) – для n-й.

Теорема 3. Теорема смещения.

f(t).ea×t « F(s - a).

Например, если 1(t) « (см. таблицу 1.1), то 1.ea×t « .

Теорема 4. Теорема запаздывания.

f(t - t) « F(s) .e-t×s,

где t - запаздывание по времени.

Например, если 1(t) « , то 1(t - t) « .

Теорема 5. Теорема интегрирования.

.

Теорема 6. О начальных и конечных значениях.

,

,

где f(0) – начальное значение функции (при t = 0),

fуст – конечное (значение в установившемся режиме).

Закон изменения выходного сигнала обычно является функцией, которую необходимо найти, а входной сигнал, как правило, известен. Некоторые типовые входные сигналы были рассмотрены в п. 2.3. Здесь приводятся их изображения:

единичное ступенчатое воздействие имеет изображение X(s) = ,

дельта-функция X(s) = 1,

линейное воздействие X(s) = .

Пример. Решение ДУ с использованием преобразований Лапласа.

Допустим, входной сигнал имеет форму единичного ступенчатого воздействия, т.е. x(t) = 1. Тогда изображение входного сигнала, согласно таблице 1.1, имеет вид X(s) = .

Производим преобразование исходного ДУ по Лапласу и подставляем X(s):

s2×Y(s) + 5×s×Y(s) + 6×Y(s) = 2×s×X(s) + 12×X(s),

s2×Y(s) + 5×s×Y(s) + 6×Y(s) = 2×s + 12 ,

Y(s)×(s3 + 5s2 + 6s) = 2×s + 12.

Определяется выражение для Y:

.

Оригинал полученной функции отсутствует в таблице оригиналов и изображений. Для решения задачи его поиска дробь разбивается на сумму простых дробей с учетом того, что знаменатель может быть представлен в виде s(s + 2)(s + 3):

= = - + .

Теперь, используя табличные функции (см. таблицы 1.1 и 1.2), определяется оригинал выходной функции:

y(t) = 2 - 4.e-2t + 2.e-3t. ¨

При решении ДУ с использованием преобразований Лапласа часто встает промежуточная задача разбиения дроби на сумму простых дробей. Существуют два пути решения этой задачи:

- путем решения системы уравнений относительно коэффициентов числителей,

- путем расчета коэффициентов числителей по известным формулам.

Общий алгоритм разбиения дроби на сумму простых дробей:

шаг 1 – определяются корни знаменателя si (знаменатель дроби приравниватся к нулю и решается полученное уравнение относительно s);

шаг 2 – каждому корню ставится в соответствие простая дробь вида , где Мi – неизвестный коэффициент; если имеет место кратный корень с кратностью k, то ему ставится в соответствие k дробей вида ;

шаг 3 – определяются коэффициенты Mi по одному из вариантов расчета.

Первый вариант. Определение Mi с помощью системы уравнений.

Все дроби приводятся к одному знаменателю, затем путем сравнения коэффициентов при равных степенях s числителя полученной дроби и числителя исходной определяется система из n уравнений, где n – степень знаменателя (количество корней si и коэффициентов Mi). Решение системы относительно Mi дает искомые коэффициенты.

Пример. Декомпозиция дроби из предыдущего примера. В исходной дроби n = 3, поэтому решение уравнения s3 + 5s2 + 6s = 0 дает 3 корня: s0 = 0, s1 = -2 и s2 = -3, которым соответствуют знаменатели простых дробей вида s, (s – s1) = (s + 2) и (s – s2) = (s + 3). Исходная дробь декомпозируется на три дроби:

= = + + .

Далее дроби приводятся к общему знаменателю:

= .

Сравнивая получившуюся дробь с исходной, можно составить систему из трех уравнений с тремя неизвестными (при 2-й степени s в исходной дроби стоит 0, при 1-й стоит 2, свободный член равен 12):

М0 + М1 + М2 = 0 M0 = 2

5.М0 + 3.М1 + 2.М2 = 2 à M1 = -4

6.М0 = 12 M2 = 2

Следовательно, дробь можно представить как сумму трех дробей:

= - +

Второй вариант. Определение коэффициентов Mi по формулам.

Также как и в 1-м варианте необходимо найти корни знаменателя исходной дроби вида . Для определения Mi существуют формулы для каждого вида корней:

- Для нулевого корня si = 0 знаменатель исходной дроби можно записать в виде A(s) = s.A1(s); тогда коэффициент Mi можно определить как .

- Для ненулевого некратного корня (действительного или комплексного) si:

,

где A’(s) – производная знаменателя по s.

Примечание - Комплексные корни при решении уравнений появляются комплексно-сопряженными парами вида si = ai ± j×wi , где ai – действительныя часть корня, wi – мнимая часть, j – мнимая единица. Поэтому коэффициенты для этих корней также будут комплексно-сопряженными: Mi = ci ± di. То есть достаточно определить коэффициент только для одного корня, для парного корня он будет комплексно-сопряженным.

- Для корня si кратности k исходная дробь может быть представлена в виде

;

данному корню соответствуют k дробей вида

,

коэффициенты которых определяются по формуле

.

Пример. Декомпозиция дроби. Рассматривается та же дробь, имеющая три корня: s0 = 0, s1 = -2 и s2 = -3.

Для корня s0 = 0 имеем B(s) = 2.s + 12, A1(s) = s2 + 5s + 6 ,

.

Для корня s1 = -2 имеем A’(s) = 3.s2 + 10.s + 6 и

.

Для корня s2 = -3 имеем аналогично

.

Видно, что коэффициенты Mi, полученные разными методами, совпадают.¨

 

Пример.Случай обратного преобразования Лапласа при наличии комплексных корней.

Изображение выходного сигнала имеет вид

.

Корни знаменателя включают нулевой корень, действительный и пару комплексных корней: s0 = 0; s1 = - 2,54; s2,3 = - 0,18 ± j*1,20.

Изображение Y(s) разбивается на сумму четырех дробей:

.

Тогда оригинал y(t), согласно таблицам 1.1 и 1.2, имеет вид

y(t) = y0(t) + y1(t) + y2,3(t) = M0 + + 2 еat [C . cos(w.t) - D . sin(w.t)],

где a и w - действительная и мнимая части пары комплексных корней s2,3, C и D – действительная и мнимая части пары коэффициентов М2 и М3.

Для корня s0 = 0:

,

,

y0(t) = M0 = 0,85.

Для корня s1 = -2,54:

,

,

,

y1(t) = .

Для корней s2,3 = -0,18 ± j*1,20:

,

,

,

y2,3(t) =2 е-0,18t [-0,34 cos(1,20 t) - 0,24 sin(1,20 t)].

В итоге получаем оригинал:

y(t) = 0,85 – 0,18 е-2,54 t – 2 е-0,18 t [0,34 cos(1,20 t) + 0,24 sin(1,20 t)].¨

Предыдущая статья:Дифференциальные уравнения. Линеаризация Следующая статья:Определение передаточной функции
page speed (0.0135 sec, direct)