Всего на сайте:
236 тыс. 713 статей

Главная | Статистика

Теоремы о вероятности произведения событий.  Просмотрен 470

Определение.Условной вероятностью Р(В/А) называется вероятность события В при условии, что произошло некоторое событие А с положительной вероятностью, т.е. Р(А)

Теорема 1(о вероятности произведения).

Р(АВ)=Р(А)Р(В/А). (5)

Пример.В коробке 10 шаров: 4 белых и 6 черных. По-очереди извлекаются два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Решение. Пусть А – событие: оба шара белые. Тогда А1 – событие: 1-ый шар белый, А2 – событие: 2-ой шар белый. Очевидно, что А=А1А2. Находим

Р(А)=Р(А1А2)=Р(А1)Р(А21)=

Следствие. Вероятность произведения n событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, вычисленные в предположении, что все предыдущие события наступили:

(6)

Замечание. В частности, для трех событий А, В, С формула (6) принимает вид:

(7)

Введем понятие независимости двух событий.

Определение.Говорят, что событие В не зависит от события А, если Р(В)=Р(В/А).

Справедливо следующее утверждение.

Утверждение.Если событие В не зависит от события А, то и событие А не зависит от события В. При этом события А и В называют независимыми.

Замечание.

Отметим, что если А и В независимые, то независимы и В, А и , и .

Теорема 2(о вероятности независимых событий). Если события А и В независимые, то

Р(АВ)=Р(А)Р(В). (8)

Пример.В коробке 4 белых и 6 черных шаров. Два раза извлекают по одному шару и каждый раз кладут его обратно. Найти вероятность того, что оба раза вытащили белый шар.

Решение. Пусть А – событие: оба раза вытащили белый шар. Тогда А1 – событие: 1-ый раз вытащили белый шар, А2 - событие: 2-ый раз вытащили белый шар. Очевидно, что А=А1А2, причем А1 и А2 независимые. Находим

Р(А)=Р(А1А2)=Р(А1)Р(А2)=

Замечание. Для трех независимых событий А, В, С формула (8) принимает вид:

Р(АВС)=Р(А)Р(В)Р(С). (9)

Определение.События А1, А2,…, Аk называются независимыми в совокупности, если любое из этих событий не зависит ни от какого произведения, составленного из остальных событий.

Следствие.Если события А1, А2,…, Аk независимые в совокупности, то

Р( )=Р(А1)Р(А2)…Р(Аk). (10)

Замечание. Вычисление вероятности суммы событий можно свести к вычислению вероятности произведения противоположных событий по формуле:

. (11)

В частности, если события А12,…,Аk независимы, то

. (12)

Предыдущая статья:Теоремы о вероятности суммы событий. Следующая статья:Упражнения.. 1.Мастер обслуживает 5 станков. 10% рабочего времени он проводит у пер..
page speed (0.0195 sec, direct)