Всего на сайте:
236 тыс. 713 статей

Главная | Статистика

Бином Ньютона  Просмотрен 1007

Определение.Формула

где

Называется формулой бинома Ньютона, а коэффициенты - биномиальные коэффициенты.

Формулу бинома Ньютона записывают также в следующем виде:

.

Возможна и другая запись:

.

Примеры.

1)Известные тождества:

.

2)

Биномиальные коэффициенты иногда располагают в виде так называемого треугольника Паскаля:

..………………………....

или, более определенно,

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

….…………………..

Треугольник Паскаля наводит на следующие свойства биномиальных коэффициентов.

10.Крайние члены треугольника Паскаля равны 1. Каждый же из остальных членов равен сумме двух смежных с ним членов, стоящих в предыдущей строке.

Например (см. строку с номером n=4), 4=1+3, 6=3+3, 4=3+1.

В общем случае (при ) . Эта формула несет в себе правило построения каждой последующей строки треугольника Паскаля по предыдущей строке.

20.Члены всякой строки треугольника Паскаля сначала возрастают (до середины строки), а затем – убывают.

Например, 1<4<6, 6>4>1 (четвертая строка).

30.Всякая строка треугольника Паскаля симметрична относительно своей середины (или: члены всякой строки треугольника Паскаля, равноудаленные от краев, равны между собой).

Это свойство записывается в виде равенства:

.

40.Сумма членов n-ой строки треугольника Паскаля равна 2n:

Замечание. Это равенство можно рассматривать как следствие формулы бинома Ньютона при a=b=1.

50.Всякое непустое множество имеет столько подмножеств с четным числом элементов, сколько и подмножеств с нечетным числом элементов; иными словами, при :

Пример.Сколько подмножеств имеет множество {1,2,…,10}, состоящее из 10 первых членов натурального ряда? Сколько из них содержит ровно три элемента?

Решение. Для ответа на 1-ый вопрос задачи воспользуемся 40 свойством:

где - количество подмножеств, не содержащих ни одного элемента. Такое множество одно ( ). Количество подмножеств, содержащих всего лишь один элемент – десять ( ). И т.д. Количество подмножеств, содержащих десять элементов – десять ( ).

Подмножеств, содержащих ровно три элемента будет

Предыдущая статья:Упражнения.. 1.Сколькимиспособами можно насадить на нить 3 красных, 7 зеленых и 4 с.. Следующая статья:Упражнения.. 1.Вычислите: . Решение. Данная формула – формула бинома Ньютона, гд..
page speed (0.0277 sec, direct)