Восемнадцать вопросов и ответов по качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений
84
1. Какую систему обыкновенных дифференциальных уравнений называют автономной?
Система обыкновенных дифференциальных уравнений называется автономной или динамической, если независимое переменное явно не входит в систему.
Общий вид автономной системы из уравнений в нормальной форме следующий:
или подробнее
.
2. Какова связь между фазовой траекторией автономной системы и соответствующей интегральной кривой этой системы?
Пусть есть решение автономной системы
тогда множество точек является кривой в пространстве
. Эту кривую называют фазовой траекторией, а пространство
, в котором расположены фазовые траектории – фазовым пространством автономной системы. Интегральные кривые системы изображаются в
-мерном пространстве
с координатами
. Соответствующая фазовая траектория является проекцией интегральной кривой на фазовое пространство, параллельной оси
.
3. Рассмотрим автономную систему из уравнений
, для которой выполнены условия основной теоремы существования и единственности решения. Пусть
функция, заданная в фазовом пространстве этой системы и непрерывно дифференцируемая там. Дать определение производной этой функции в силу автономной системы.
Производная функции определяется равенством
,
где – градиент функции
. Производная в силу системы
называется также производной по направлению векторного поля
или производной Ли.
4. Пусть -- производная в силу системы
и
в некоторой области фазового пространства
. Тогда функция
не убывает (не возрастает) вдоль любой фазовой траектории системы, лежащей в области
. Как называют функцию
, если ее производная в силу системы тождественно равна нулю?
Функция называется первым интегралом автономной системы
, если эта функция постоянна вдоль каждой траектории этой системы. Таким образом, если
– решение системы, то функция
при всех
. Для того, чтобы функция
была первым интегралом системы
, необходимо и достаточно, чтобы ее производная в силу этой системы была равна нулю:
.
5. Дать определение устойчивости по Ляпунову положения равновесия автономной системы.
Рассмотрим автономную систему из уравнений
. Обозначим
решение этой системы с начальными данными
.
Положение равновесия называется устойчивым по Ляпунову, если:
· существует такое, что если
, то решение
существует при
;
· для всякого существует
такое, что если
, то
при всех
.
Это означает, что если в начальный момент времени изображающая точка находится достаточно близко к положению равновесия, то и во все последующие моменты времени, двигаясь по траектории, точка будет оставаться в близи положения равновесия.
6. Дать определение асимптотической устойчивости положения равновесия автономной системы.
Положение равновесия называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и если
при достаточно малых
.
Это означает, что если точку немного сдвинуть их положения равновесия, то она с ростом времени будет стремиться вернуться в положение равновесия.
7. Пусть автономная система имеет положение равновесия
, т. е.
. Каким образом можно заменой переменной свести исследование устойчивости положения равновесия этой системы к исследованию устойчивости начала координат другой системы, которую называют приведенной или, следуя Ляпунову, системой уравнений возмущенного движения.
Выполним замену переменной , где
отклонение фазового вектора
от положения равновесия
. В новых переменных уравнение будет иметь вид
и будет иметь положение равновесия
, соответствующее положению равновесия
исходной системы. При исследовании устойчивости положения равновесия
его называют невозмущенным движением, вектор
называют возмущением, а уравнение
-- уравнением возмущенного движения.
8. При исследовании устойчивости положения равновесия автономной системы прямым методом Ляпунова рассматривают некоторые функции, не зависящие от времени, определенные в некоторой окрестности положения равновесия приведенной системы и обладающие непрерывными частными производными. В каких случаях такие функции называют знакоопределенными? В каких случаях такие функции называют знакопостоянными? В каких случаях такие функции называют знакопеременными?
Функция называется знакоопределенной (определенно-положительной или определенно отрицательной), если она при
, где
-- достаточно малое положительное число, может принимать значения только одного определенного знака и обращаться в нуль только при
.
Функция называется знакопостоянной (положительной или отрицательной), если она при
, где
-- достаточно малое положительное число, может принимать значения только одного определенного знака, но может обращаться в нуль и при
.
Функция называется знакопеременной, если в любой, сколь угодно малой, окрестности начала координат принимает как положительные, так и отрицательные значения.
Например, функция -- определенно-положительная, а функция
-- положительна.
9. Доказать знакоопределенность функции .
Разложим функцию в ряд в окрестности начала координат. Так как
и
, то
Таким образом
Применим критерий Сильвестра для определения положительной определенности квадратичной формы в разложении функции .
Для того чтобы квадратичная форма с вещественными коэффициентами была определенно-положительной, необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры матрицы ее коэффициентов были положительны.
В нашем случае и согласно критерию Сильвестра квадратичная форма
-- определенно-положительна. Отсюда заключаем, что функция
в малой окрестности начала координат определенно-положительна.
10. Сформулировать теорему Ляпунова об устойчивости невозмущенного движения и применить ее для исследования устойчивости положения равновесия системы
В качестве функции Ляпунова взять функцию .
Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения можно найти знакоопределенную функцию , производная которой
в силу этих уравнений была бы знакопостоянной противоположного знака с
, или тождественно равной нулю, то невозмущенное движение устойчиво.
Найдем производную функции в силу системы
.
Функция -- определенно-положительна, а ее производная
-- отрицательная функция. На основании теоремы Ляпунова можно утверждать, что невозмущенное движение
устойчиво.
11. Сформулировать теорему Ляпунова об асимптотической устойчивости невозмущенного движения и применить ее для исследования устойчивости положения равновесия системы
В качестве функции Ляпунова взять функцию .
Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения можно найти знакоопределенную функцию , производная которой
в силу этих уравнений была бы знакоопределенной функцией противоположного знака с
, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво.
Квадратичная форма определенно-положительна. Это было установлено по критерию Сильвестра в ответе на вопрос с номером 20. Производная этой формы в силу системы имеет вид
.
Для того чтобы квадратичная форма с вещественными коэффициентами была определенно-отрицательной, необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры матрицы ее коэффициентов последовательно меняли свой знак:
.
В нашем случае , т.





Функция -- определенно-положительна, а ее производная
– определенно-отрицательная функция. На основании теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости можно утверждать, что невозмущенное движение
асимптотически устойчиво.
12. Сформулировать теорему Ляпунова о неустойчивости движения и применить ее к доказательству неустойчивости положения равновесия уравнения , выбрав в качестве функции Ляпунова
.
Если дифференциальные уравнения возмущенного движения позволяют найти функцию , которая обладала бы в силу этих уравнений знакоопределенной производной
и могла бы принимать в окрестности нуля значения одного знака с
, то невозмущенное движение неустойчиво.
Производная функции в силу уравнения
положительно-определена
. Сама функция
принимает положительные значения в сколь угодно малой окрестности положения равновесия (она – положительно определена). Следовательно, положение равновесия
является неустойчивым.
13. Рассмотрим линейную автономную систему из уравнений
. Эта система имеет положение равновесия
. Так как такая система интегрируется, вопрос об устойчивости этого положения равновесия полностью исследован. Сформулировать необходимое и достаточное условие асимптотической устойчивости положения равновесия этой системы.
Положение равновесия системы
асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда вещественные части всех собственных значений матрицы
отрицательны.
14. Выше мы говорили об устойчивости положения равновесия автономной системы. Рассмотрим произвольное решение системы дифференциальных уравнений
. Дать определение устойчивости этого решения по Ляпунову.
Решение называется устойчивым по Ляпунову, если для любых
и
существует
такое, что
· все решения системы
, удовлетворяющие условию
, определены в промежутке
;
· для этих решений справедливо неравенство при
.
15. Дать определение асимптотической устойчивости решения системы дифференциальных уравнений.
Решение называется асимптотически устойчивым при
, если
· это решение устойчиво по Ляпунову
· для любого существует
такое, что из неравенства
следует
.
Если решение системы
с непрерывной правой частью устойчиво для какого-нибудь фиксированного момента времени
, то оно будет устойчивым для любого другого момента, т. е. будет устойчивым в смысле данного выше определения. Таким образом можно ограничиваться проверкой устойчивости решения лишь для некоторого начального момента
.
16.
Понятие приведенной системы или системы уравнений возмущенного движения применяется не только при исследовании устойчивости положения равновесия автономной системы, но и при исследовании устойчивости произвольного решения системы дифференциальных уравнений
. Дать определение приведенной системы.
Пусть решение системы
, устойчивость которого требуется исследовать (невозмущенное движение). Положим
, т. е.
есть отклонение решения
от решения
. Так как
,
то для для получаем дифференциальное уравнение
.
Так как , система
имеет тривиальное решение
, которое соответствует исходному
(невозмущенному движению). Систему уравнений
называют приведенной или системой уравнений возмущенного движения.
17. Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений
.
Показать, что все ее решения либо устойчивы, либо неустойчивы.
Пусть решение системы
,
устойчивость которого требуется исследовать (невозмущенное движение). Положим , т. е.
есть отклонение решения
от решения
. Тогда
.
Приведенное уравнение имеет вид . Если положение равновесия этой однородной линейной системы устойчиво, то любое решение
исходной системы
устойчиво. Линейную систему называют устойчивой, если все ее решения устойчивы.
18. Найти решение задачи Коши
.
Исследовать устойчивость этого решения.
Найдем собственные значения матрицы системы. Они являются корнями характеристического полинома
.
Собственные числа и
отрицательны. Следовательно любое решение этой системы асимптотически устойчиво.
Собственный вектор, отвечающий собственному числу , является решением алгебраической системы
, т. е.
.
Можно взять ненулевое решение .
Собственный вектор, отвечающий собственному числу , является решением алгебраической системы
, т. е.
.
Можно взять ненулевое решение .
Построим неособенную матрицу
и найдем обратную к ней
.
Решение начальной задачи можно теперь подсчитать следующим образом:
.