Всего на сайте:
183 тыс. 477 статей

Главная | Математика

Восемнадцать вопросов и ответов по качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений  Просмотрен 62

  1. Волшебники: наставник и еретик
  2. Графическая работа №4 Чертежи неразъемных соединений.
  3. Интегрирование по частям.
  4. Внимание!. При выполнении данного задания используйте материалы практического зан..
  5. ФОРМУЛЫ АЛГЕБРЫ ПРЕДИКАТОВ: ОПРЕДЕЛЕНИЕ, ИНТЕРПРЕТАЦИЯ В АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ, ПРИМЕНЕНИЕ К ПОСТРОЕНИЮ МОДЕЛЕЙ СУЖДЕНИЙ
  6. Задания для самоконтроля, 1. Пусть вес пойманной рыбы подчиняется нормальному закону распределен..
  7. Характеристическое уравнение имеет два кратных действительных корня
  8. Факты и прогнозы, Стремясь разобраться в эволюции Вселенной, ученые обычно подходят к..
  9. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ. Выполнение заданий, включенных в контрольную работу, ставит своей цель..
  10. Задание 3., Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее нач..
  11. Задача №4. Вычислить криволинейный интеграл по меньшей дуге единичной окружности,..
  12. Линейные системы уравнений, определение, матричная запись.

1. Какую систему обыкновенных дифференциальных уравнений называют автономной?

Система обыкновенных дифференциальных уравнений называется автономной или динамической, если независимое переменное явно не входит в систему.

Общий вид автономной системы из уравнений в нормальной форме следующий:

или подробнее

.

2. Какова связь между фазовой траекторией автономной системы и соответствующей интегральной кривой этой системы?

Пусть есть решение автономной системы

тогда множество точек является кривой в пространстве . Эту кривую называют фазовой траекторией, а пространство , в котором расположены фазовые траектории – фазовым пространством автономной системы. Интегральные кривые системы изображаются в -мерном пространстве с координатами . Соответствующая фазовая траектория является проекцией интегральной кривой на фазовое пространство, параллельной оси .

3. Рассмотрим автономную систему из уравнений , для которой выполнены условия основной теоремы существования и единственности решения. Пусть функция, заданная в фазовом пространстве этой системы и непрерывно дифференцируемая там. Дать определение производной этой функции в силу автономной системы.

Производная функции определяется равенством

,

где – градиент функции . Производная в силу системы называется также производной по направлению векторного поля или производной Ли.

4. Пусть -- производная в силу системы и в некоторой области фазового пространства . Тогда функция не убывает (не возрастает) вдоль любой фазовой траектории системы, лежащей в области . Как называют функцию , если ее производная в силу системы тождественно равна нулю?

Функция называется первым интегралом автономной системы , если эта функция постоянна вдоль каждой траектории этой системы. Таким образом, если – решение системы, то функция при всех . Для того, чтобы функция была первым интегралом системы , необходимо и достаточно, чтобы ее производная в силу этой системы была равна нулю: .

5. Дать определение устойчивости по Ляпунову положения равновесия автономной системы.

Рассмотрим автономную систему из уравнений . Обозначим решение этой системы с начальными данными .

Положение равновесия называется устойчивым по Ляпунову, если:

· существует такое, что если , то решение существует при ;

· для всякого существует такое, что если , то при всех .

Это означает, что если в начальный момент времени изображающая точка находится достаточно близко к положению равновесия, то и во все последующие моменты времени, двигаясь по траектории, точка будет оставаться в близи положения равновесия.

6.

Дать определение асимптотической устойчивости положения равновесия автономной системы.

Положение равновесия называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и если при достаточно малых .

Это означает, что если точку немного сдвинуть их положения равновесия, то она с ростом времени будет стремиться вернуться в положение равновесия.

7. Пусть автономная система имеет положение равновесия , т. е. . Каким образом можно заменой переменной свести исследование устойчивости положения равновесия этой системы к исследованию устойчивости начала координат другой системы, которую называют приведенной или, следуя Ляпунову, системой уравнений возмущенного движения.

Выполним замену переменной , где отклонение фазового вектора от положения равновесия . В новых переменных уравнение будет иметь вид и будет иметь положение равновесия , соответствующее положению равновесия исходной системы. При исследовании устойчивости положения равновесия его называют невозмущенным движением, вектор называют возмущением, а уравнение -- уравнением возмущенного движения.

8. При исследовании устойчивости положения равновесия автономной системы прямым методом Ляпунова рассматривают некоторые функции, не зависящие от времени, определенные в некоторой окрестности положения равновесия приведенной системы и обладающие непрерывными частными производными. В каких случаях такие функции называют знакоопределенными? В каких случаях такие функции называют знакопостоянными? В каких случаях такие функции называют знакопеременными?

Функция называется знакоопределенной (определенно-положительной или определенно отрицательной), если она при , где -- достаточно малое положительное число, может принимать значения только одного определенного знака и обращаться в нуль только при .

Функция называется знакопостоянной (положительной или отрицательной), если она при , где -- достаточно малое положительное число, может принимать значения только одного определенного знака, но может обращаться в нуль и при .

Функция называется знакопеременной, если в любой, сколь угодно малой, окрестности начала координат принимает как положительные, так и отрицательные значения.

Например, функция -- определенно-положительная, а функция -- положительна.

9. Доказать знакоопределенность функции .

Разложим функцию в ряд в окрестности начала координат. Так как и , то

Таким образом

Применим критерий Сильвестра для определения положительной определенности квадратичной формы в разложении функции .

Для того чтобы квадратичная форма с вещественными коэффициентами была определенно-положительной, необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры матрицы ее коэффициентов были положительны.

В нашем случае и согласно критерию Сильвестра квадратичная форма -- определенно-положительна. Отсюда заключаем, что функция в малой окрестности начала координат определенно-положительна.

10. Сформулировать теорему Ляпунова об устойчивости невозмущенного движения и применить ее для исследования устойчивости положения равновесия системы

В качестве функции Ляпунова взять функцию .

Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения можно найти знакоопределенную функцию , производная которой в силу этих уравнений была бы знакопостоянной противоположного знака с , или тождественно равной нулю, то невозмущенное движение устойчиво.

Найдем производную функции в силу системы

.

Функция -- определенно-положительна, а ее производная -- отрицательная функция. На основании теоремы Ляпунова можно утверждать, что невозмущенное движение устойчиво.

11. Сформулировать теорему Ляпунова об асимптотической устойчивости невозмущенного движения и применить ее для исследования устойчивости положения равновесия системы

В качестве функции Ляпунова взять функцию .

Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения можно найти знакоопределенную функцию , производная которой в силу этих уравнений была бы знакоопределенной функцией противоположного знака с , то невозмущенное движение асимптотически устойчиво.

Квадратичная форма определенно-положительна. Это было установлено по критерию Сильвестра в ответе на вопрос с номером 20. Производная этой формы в силу системы имеет вид .

Для того чтобы квадратичная форма с вещественными коэффициентами была определенно-отрицательной, необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры матрицы ее коэффициентов последовательно меняли свой знак:

.

В нашем случае , т.

е. – определенно-отрицательная функция относительно и , следовательно, и относительно и .

Функция -- определенно-положительна, а ее производная – определенно-отрицательная функция. На основании теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости можно утверждать, что невозмущенное движение асимптотически устойчиво.

12. Сформулировать теорему Ляпунова о неустойчивости движения и применить ее к доказательству неустойчивости положения равновесия уравнения , выбрав в качестве функции Ляпунова .

Если дифференциальные уравнения возмущенного движения позволяют найти функцию , которая обладала бы в силу этих уравнений знакоопределенной производной и могла бы принимать в окрестности нуля значения одного знака с , то невозмущенное движение неустойчиво.

Производная функции в силу уравнения положительно-определена . Сама функция принимает положительные значения в сколь угодно малой окрестности положения равновесия (она – положительно определена). Следовательно, положение равновесия является неустойчивым.

13. Рассмотрим линейную автономную систему из уравнений . Эта система имеет положение равновесия . Так как такая система интегрируется, вопрос об устойчивости этого положения равновесия полностью исследован. Сформулировать необходимое и достаточное условие асимптотической устойчивости положения равновесия этой системы.

Положение равновесия системы асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда вещественные части всех собственных значений матрицы отрицательны.

14. Выше мы говорили об устойчивости положения равновесия автономной системы. Рассмотрим произвольное решение системы дифференциальных уравнений . Дать определение устойчивости этого решения по Ляпунову.

Решение называется устойчивым по Ляпунову, если для любых и существует такое, что

· все решения системы , удовлетворяющие условию , определены в промежутке ;

· для этих решений справедливо неравенство при .

15. Дать определение асимптотической устойчивости решения системы дифференциальных уравнений.

Решение называется асимптотически устойчивым при , если

· это решение устойчиво по Ляпунову

· для любого существует такое, что из неравенства следует .

Если решение системы с непрерывной правой частью устойчиво для какого-нибудь фиксированного момента времени , то оно будет устойчивым для любого другого момента, т. е. будет устойчивым в смысле данного выше определения. Таким образом можно ограничиваться проверкой устойчивости решения лишь для некоторого начального момента .

16.

Понятие приведенной системы или системы уравнений возмущенного движения применяется не только при исследовании устойчивости положения равновесия автономной системы, но и при исследовании устойчивости произвольного решения
системы дифференциальных уравнений . Дать определение приведенной системы.

Пусть решение системы , устойчивость которого требуется исследовать (невозмущенное движение). Положим , т. е. есть отклонение решения от решения . Так как

,

то для для получаем дифференциальное уравнение

.

Так как , система имеет тривиальное решение , которое соответствует исходному (невозмущенному движению). Систему уравнений называют приведенной или системой уравнений возмущенного движения.

17. Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений

.

Показать, что все ее решения либо устойчивы, либо неустойчивы.

Пусть решение системы

,

устойчивость которого требуется исследовать (невозмущенное движение). Положим , т. е. есть отклонение решения от решения . Тогда

.

Приведенное уравнение имеет вид . Если положение равновесия этой однородной линейной системы устойчиво, то любое решение исходной системы устойчиво. Линейную систему называют устойчивой, если все ее решения устойчивы.

18. Найти решение задачи Коши

.

Исследовать устойчивость этого решения.

Найдем собственные значения матрицы системы. Они являются корнями характеристического полинома

.

Собственные числа и отрицательны. Следовательно любое решение этой системы асимптотически устойчиво.

Собственный вектор, отвечающий собственному числу , является решением алгебраической системы , т. е.

.

Можно взять ненулевое решение .

Собственный вектор, отвечающий собственному числу , является решением алгебраической системы , т. е.

.

Можно взять ненулевое решение .

Построим неособенную матрицу

и найдем обратную к ней

.

Решение начальной задачи можно теперь подсчитать следующим образом:

.

 

Предыдущая статья:Внеочаговая фиксация отломков компрессионно-дистрак-ционными аппаратами Следующая статья:Menagerie by Bruce Lanky
page speed (0.0524 sec, direct)