Всего на сайте:
183 тыс. 477 статей

Главная | Физика

Групи симетрій біфуркацій інтегрованих гамільтонових систем  Просмотрен 24

Кафедра диференціальних рівнянь

Курсова робота

з дисципліни «Диференціальні рівняння»

 

«Групи симетрій біфуркацій інтегрованих гамільтонових систем»

 

Виконала: студентка ІІ-го курсу

ФМФ, гр. ОМ-61

Машевська І. О.


Перевірив: проф. Пелюх Г. П.

 

м. Київ
2018

 

 

Вступ

А. Т. Фоменко ввів поняття атома (див. [3,4]). Атоми кодують типові перебудови (біфуркації) торів Ліувілля в невироджених інтегрованих гамільтонових системах. В даний час в термінах двовимірних атомів і «молекул» описано багато відомих інтегрованих систем з двома степенями свободи та їх класи відносно різних класів еквівалентності. Зокрема, виявилось, що багатовимірні біфуркації торів Ліувілля представляються у вигляді напівпрямих добутків двовимірних атомів (див. [5]), що робить актуальним вивчення груп симетрії двовимірних атомів. Двовимірні сідлові атоми можна еквівалентним чином представляти за допомогою так званих
f -графів [6].

Нагадаємо поняття двовимірного сідлового атома (далі просто – атома). Нехай М – зв’язна замкнута двовимірна поверхня (орієнтована або ж ні) і - правильна функція Морса, тобто має рівно три критичні значення: мінімальне, максимальне та сідлове. Тоді її сідловий рівень є зв’язним графом К, всі вершини якого мають степінь 4. (тобто у вершині сходяться 4 напівребра) і розбиття приймає шахове забарвлення, тобто кожне ребро межує з чорною кліткою і білою кліткою. Правильні функції Морса f та на поверхнях називаються пошарово еквівалентними в околах своїх критичних рівнів , якщо існують такі малі
та дифеоморфізм , які зв’язні компоненти ліній рівня функції . Якщо зберігає напрямок зростання функції, то функції називаються пошарово оснащено еквівалентними. Далі будемо рахувати, що с=0.

Атомом (Р,К) називається клас пошарово оснащеної еквівалентної функції Морса f в околі її сідлового критичного рівня K={f=0}. Атомом часто називають який-небудь представник класу пошарової еквівалентності (тобто поверхню Р з вкладеним в неї графом К).
1

Доповнення до графу К в поверхні Р складається з «додатніх» та «від’ємних» кілець (на яких функція f додатна та від’ємна відповідно). Гомеоморфізм пари (Р,К) на себе, зберігаючи напрям зростання функції і розглядаючи з точністю до гомеоморфізмів, які перетворюють кожне ребро графа К в себе із збереженням будь-якої вибраної на ньому орієнтації, утворюють групу симетрії атома ( будемо позначати . Ця група дискретна. Якщо атом (точніше, поверхня Р) орієнтований, то розгляд власних (тобто тих, які зберігають орієнтацію) гомеоморфізмів дає групу власних симетрій атома . Сідлові критичні точки функції f називаються вершинами атома, а їх число – складністю атома. В цьому випадку розглянута вище поверхня М, яка містить Р, з правильною функцією Морса на ній, отримується із поверхні Р заклеюванням кожного її граничного околу двовимірним диском і продовженням функції в середину диска з рівно однією критичною точкою, в його центрі. Рід поверхні М називається родом атома. Також іноді будемо користуватись іншим еквівалентним поняттям атома. Будемо вважати, що граничні околи атома заклеєні дисками, тобто атом (М,К) реалізований у вигляді двовимірної зв’язної компактної замкнутої поверхні М з вкладеним в неї зв’язним графом К, кожна вершина якого має степінь 4. Ще раз відмітимо, що М\К гомеоморфне диз’юнктивному об’єднанню дисків (кліток), які можна покрасити в два кольори так, щоб кожне ребро графа доторкалось би до різнокольорових клітинок (далі таке забарвлення будемо називати шаховим). Більш точно, під атомом будемо розуміти такий клас еквівалентності. Атомом називається пара (М,К) з вказаними властивостями, розглядаючи з точністю до гомеоморфізму пари (яка переводить граф в граф). Оснащеним атомом називається пара (М,К) з вказаними властивостями і вибраним забарвленням кліток в чорний і білий кольори, розглядаючи з точністю до гомеоморфізма, який переводить клітки в клітки такого ж кольору.
2

Необхідні твердження

Нехай існує атом (М,К). Розглянемо деяку вершину цього атома з околом. Локально даний окіл являє собою двовимірний диск із вкладеним в нього графа у вигляді хрестика (вершина з вихідними ребрами). Нехай на диску задана орієнтація з допомогою репера { }. Тоді цю орієнтацію можна індукувати на хрестик, пронумерувавши таким чином, щоб при обході від порядок ребер зростав (Рис.1). Розглянемо орієнтацію цього хрестика при гомеоморфізмі, вважаючи, що орієнтація диска збереглась.

 

Твердження 1(збереження циклічного порядку).

При гомеоморфізмі вершини атома з околом ( з вихідними з неї ребрами) порядок ребер при обході образу вершини в напрямку від
або залишається тим самим, або змінюється на протилежний.

Доведення. Пронумеруємо вихідні ребра числами 1, 2, 3 і 4 (всі вершини мають степінь 4), задаємо при цьому додатну орієнтацію хрестика. При гомеоморфізмі ребро 1 повинно залишитися сусіднім з ребром 2, так як вони утворюють частину границі одного від’ємного (додатного) диска. Аналогічно, ребро 1 залишиться сусіднім з ребром 4. Таке відношення «сусідства» (інцидентності) справедливе для кожного з ребер.
3

За розміщенням двох сусідніх ребер відновлюються й інші, так як кожне «крайнє» ребро має другого однозначно визначеного сусіда. Для двох інцидентних ребер існує два варіанти розташування: від , або ж навпаки, від більшого до меншого. Отже, такі два ребра породять два можливих розміщення ребер образу вершини з вказаним вище порядком

Твердження 2.Будь-який гомеоморфізм атома (симетрія) однозначно знаходиться (з точністю до ізотопії) шляхом двовимірного околу однієї вершини, тобто образом вершини та її ребер ( з уточненням: яке ребро куди переходить).

Доведення. Нехай задано гомеоморфізм вершини з околом. Тоді, рухаючись іншими ребрами графа і прилеглими до них кільцями, однозначно відновляться образи інших вершин та ребер

 

 

4

3 Реалізація атомів з групою симетрії

В роботі [2] О. О. Кудрявцевої та А. Т. Фоменко було доведено, що будь-яка скінченна група G є групою симетрії деякого атома, а також було отримано оцінки на мінімальний рід (Mg(G)) і складність (Mn(G)) цього атома. Так як ці оцінки носять загальний характер, то в загальному випадку вони можуть бути неоптимальними. Тобто для деяких класів груп оцінки можуть бути покращеними. Зокрема, вдалося покращити оцінку на рід для атомів з групою симетрії (p, q>1). В загальному випадку оцінка рід така: Mg(G) число породжуючих елементів групи,
-порядок групи. Якщо застосувати її до випадку групи , то отримаємо Mg( )

Теорема 1.Група (p, q>1) є групою симетрії деякого орієнтованого атома роду 1.
Доведення.
Розглянемо тор як фактор площини . Побудуємо атом на розгортці тора (Рис.2): розіб’ємо квадрат (розгортку) на 2p полос по горизонталі та 2q полос по вертикалі ( в силу парності, таке розбиття дає шахматне забарвлення).

Розглянемо симетрії цього атома
5

Лема 1.Симетрія даного атома- це композиція зсувів на 2 клітинки вверх-вниз, вправо-вліво, поворотів на кут відносно вузлів решітки або відносно центрів клітинок (на відносно центрів кліток у випадку p=q) і відображень відносно прямих, які проходять через центри кліток і паралельні розбиттю.

Доведення. Розглянемо вершину з її околом та їх образ при гомеоморфізмі. Перерахованими в Лемі 1 симетріями отримаємо з вихідної вершини її образ (з околом) таким чином: одним відображенням доберемося потрібного порядку обходу ребер (як в образі); потім, з допомогою поворотів, робимо ребра співнапрямленими, тобто напрям променя, яких виходить з вершини і йде вздовж ребра, повинен співпадати з напрямом променя, побудованого на відповідному ребрі образа. В результаті могло вийти два варіанти: вершина знаходиться на відстані парного числа кліток до образа і по вертикалі, і по горизонталі; вершина знаходиться на відстані не парного числа кліток до образа і по вертикалі, і по горизонталі.

В першому випадку за допомогою зсувів накладаємо цю вершину на образ. Околи цих вершин співпадуть. В другому випадку необхідно відобразити все відносно будь- якої горизонтальної чи вертикальної прямої. Тоді отримаємо перший випадок. Далі, користуючись Твердженням 2, помітимо, що тоді атоми співпадуть

Щоб група симетрії була ізоморфна групі ,потрібно заборонити всі симетрії, крім зсувів. Для цього додамо в довільну клітку одну петлю до нижнього ребра та одну вісімку до лівого ребра. Тепер розмножимо цю клітку «через одну» вправо-вліво, вверх-вниз (Рис. 3). Група симетрій отриманого атома є в точності групою .


6

 

Дійсно, доведемо, що ніякі симетрії, крім зсувів, неможливі. Повороти недопустимі, так як тоді додані петля і вісімка, виявляться, відповідно, на верхньому і правому ребрах (на лівому і верхньому у випадку повороту на вправо, в правому і нижньому- на вліво), тоді як в початковому атомі на цих ребрах таких об’єктів немає. Відображення також недопустимі, так як тоді додана петля (вісімка) виявиться на верхньому (правому) ребрі клітки.

 

Зсуви на дві клітки вправо-вліво, вверх-вниз залишаться неможливими, так як побудова кліток, розміщених один відносно іншого через одну, повністю співпадуть. Вправо-вліво можливі q різних зсувів, вверх-вниз- p. Отримаємо групу симетрій

За вище згаданою теоремою О. О. Кудрявцевої та А. Т. Фоменко оцінка на складність атома з групою симетрії G має такий вигляд: Mn(G)
У випадку групи Складність побудову в ході доведення теореми атома дорівнює , тобто співпадає з верхньою оцінкою на складність атома з даною групою симетрії. Таким чином покращити оцінку атома не вдалося.

7

Предыдущая статья:Что такое Революция? Следующая статья:Групи симетрії всіх атомів складності не більше трьох
page speed (0.2256 sec, direct)