Всего на сайте:
236 тыс. 713 статей

Главная | Математика

Формула Гаусса  Просмотрен 141

Рассмотрим общий вид квадратурной формулы (3.2). В ней неизвестными являются параметров: узлов и весовых коэффициентов .

Подберем и так, чтобы равенство было точным для полиномов степени или для степенных функций:

.

Подставляя в точное равенство (3.2) поочередно эти функции, получим:

(3.5)

Решение системы (3.5) весьма затруднительно, но, оказывается, узлами квадратурной формулы в этом случаеявляются корни полиномов Лежандра , которые принадлежат интервалу и расположены симметрично относительно начала координат, а веса находятся интегрированием базисных многочленов Лагранжа степени :

. (3.6)

Напомним, что полиномы Лежандра определяются рекуррентной формулой Родрига:

и являются ортогональными полиномами с весом на отрезке

Докажем, что при таких и формула (3.2) будет точна при подстановке в нее вместо любого многочлена степени .

Пусть . Согласно теореме о делении полинома на полином с остатком, существуют такие полиномы и , что:

.

Подставим это выражение в левую часть формулу (3.2).В силу линейной независимости полиномов Лежандра и их попарной ортогональности всегда найдется набор , таких, что

,

тогда

,

. (3.7)

Теперь преобразуем правую часть формулы (3.1):

,

здесь – базисный многочлен Лагранжа. Покажем, что при таком формула будет точна:

.

В левой части последнего равенства под интегралом стоит интерполяционный многочлен Лагранжа степени , составленный по значениям , который в силу своей единственности однозначно восстанавливается интерполированием. Тогда верно точное равенство:

.

Отсюда ясно, что указанные значения и являются узлами и весовыми коэффициентами квадратурной формулы Гаусса.

Запишем теперь общую квадратурную формулу для интеграла по промежутку :

.

Оценка погрешности квадратурных формул Гаусса, Чебышева говорит о существенно более быстром убывании погрешности с ростом числа узлов для достаточно гладких интегрируемых функций. При существуют таблицы (см. табл.3.1).

Таблица 3.1.

Формула Чебышева Формула Гаусса   
 
0,577350 0,577350  
0,707107 0,774597
0,187592 0,794654 0,339981 0,861136 0,652145 0,347855
0,374541 0,832497 0,538469 0,906180 0,568889 0,478629 0,236927

 

В практикуме рассмотрены примеры вычисления интегралов по квадратурным формулам прямоугольников, трапеций, Симпсона, формулам Гаусса и Чебышева для с помощью вычислительного пакета Mathcad. Очевидно, что использование формул Гаусса и Чебышева позволяет достичь высокой точности при существенно меньшем объеме вычислений в сравнении с другими квадратурными формулами.

 

Предыдущая статья:Формула Чебышева Следующая статья:Метод Монте-Карло
page speed (0.1133 sec, direct)