Всего на сайте:
236 тыс. 713 статей

Главная | Математика

Квадратурные формулы Гаусса, Чебышева  Просмотрен 305

 

Общий вид квадратурной формулы:

(3.1)

здесь – узлы интегрирования, – весовые функции. Определенный интеграл приближенно равен средневзвешенному значений подынтегральной функции, вычисленных в определенных точках промежутка интегрирования.

В предыдущих квадратурных формулах брались равноотстоящие узлы с шагом , и весовые коэффициенты получались заменой подынтегральной функции на кусочно-постоянную (формула прямоугольников), кусочно-линейную (формула трапеций), кусочно-квадратичную ( формула Симпсона).

Для получения более точных формул откажемся от равномерного распределения узлов. Удобно сделать замену:

,

тогда интеграл по произвольному промежутку преобразуется в интеграл по стандартному промежутку :

.

Таким образом, без потери общности можно рассматривать интеграл:

, (3.2)

здесь – число узлов интегрирования.

В выражение для погрешности квадратурных формул входит производная некоторого порядка от функции, т. к. производная порядка равна нулю для полинома степени , то квадратурная формула верна для многочленов степени (k – 1). Например, формула односторонних прямоугольников точна для полиномов нулевого порядка, ; формула центральных прямоугольников – для линейных полиномов, формула трапеций – для линейных полиномов, ; формула Симпсона – для кубических полиномов, .

Потребуем, чтобы квадратурная формула (3.2) была точна для полинома степени , где – число узлов.

Предыдущая статья:Экстраполяция по Ричардсону Следующая статья:Формула Чебышева
page speed (0.0176 sec, direct)