Всего на сайте:
210 тыс. 306 статей

Главная | Математика

Метод наименьших квадратов  Просмотрен 81

Если набор точек получен из эксперимента с некоторой погрешностью, то не имеет смысла использовать интерполяцию полиномами Лагранжа или сплайнами для обработки результатов.

В этом случае необходимо провести аппроксимирующую кривую, которая не проходит через экспериментальные точки, но в то же время отражает исследуемую зависимость, сглаживая возможные выбросы за счет погрешности эксперимента.

Будем рассматривать непрерывную функцию , аппроксимирующую дискретную зависимость . Подберем функцию так, чтобы сумма квадратов отклонений во всех точках была бы минимальной:

(2.11)

Метод построения аппроксимирующей функции из условия минимума S называется метод наименьших квадратов.

Наиболее распространен выбор в виде обобщенного полинома:

, (2.12)

где – базисные функции. Формула для определения суммы квадратов отклонений будет иметь вид:

.

Продифференцируем по переменным и приравняем производные нулю:

, ;

, . (2.13)

Здесь – скалярное произведение дискретных функций. Таким образом, получили систему линейных уравнений (2.13) относительно неизвестных .

Основная матрица системы – матрица Грама составлена из попарных скалярных произведений дискретных функций:

.

Аналогично определим скалярное произведение дискретной функции : .

Матрица Грама симметричная, положительно определённая, ее определитель не равен нулю, если – линейно независимые.

Обычно начинают с одной или двух базисных функций, если , где – погрешность экспериментальных данных, то добавляют новые , пока . Выбор конкретных базисных функций зависит от свойств – периодичности, логарифмического или экспоненциального характера.

Нередко для исследователя требуется не только аппроксимирующая функция, но и ее производные, которые можно найти дифференцированием аппроксимирующей функции:

.

Аналогично можно найти производные второго и более высоких порядков.

Предыдущая статья:Сплайн- интерполяция Следующая статья:Степенной базис
page speed (0.0342 sec, direct)