Всего на сайте:
210 тыс. 306 статей

Главная | Математика

Сплайн- интерполяция  Просмотрен 74

 

Сплайном называется функция, которая является многочленом на каждом частичном отрезке интерполяции, а на всем отрезке непрерывна вместе с несколькими своими производными.

Пусть отрезок разбит на частей, .

Максимальная по всем частичным отрезкам интерполяции степень многочлена называется степенью сплайна.

Разность между степенью сплайна и порядком наивысшей непрерывной на производной называется дефектом сплайна. Например, ломаная- непрерывная кусочно-линейная функция – это сплайн первой степени с дефектом единица. Чаще всего используются кубические сплайны

. (2.6)

Для определения коэффициентов на всех отрезках интерполяции требуется уравнений. Часть из них можно получить из условий:

,

. (2.7)

В этой системе всего уравнений. Для получения недостающих условий зададим условия непрерывности первой и второй производных во внутренних узлах интерполяции, т. е. условия гладкости второго порядка кривой во всех точках:

(2.8)

Вычислим производные многочлена (2.6):

,

,

тогда из условий (2.8) получим уравнений:

; (2.9)

, .

Чтобы получить дополнительные условия, накладывают требования к поведению сплайна на концах отрезка интерполяции, из условия нулевой кривизны на концах следуют равенства нулю вторых производных в этих точках:

.

Приведем систему уравнений к более удобному виду. Поскольку все коэффициенты уже известны, выразим

.

Подставим эти соотношения и значения в уравнение (2.7) и выразим оттуда коэффициенты:

.

Исключив из уравнения (2.9) коэффициенты и , окончательно получим систему уравнений только для коэффициентов

, (2.10)

.

Здесь введен фиктивный коэффициент . Данная система (2.10) имеет единственное решение, т. к. выполняется условие диагонального преобладания в матрице, следовательно, существует единственный кубический сплайн дефекта единицы. Для решения системы целесообразно использовать метод прогонки. По найденным из системы коэффициентам легко вычислить коэффициенты .

Предыдущая статья:Кусочная аппроксимация Следующая статья:Метод наименьших квадратов
page speed (0.0107 sec, direct)