Всего на сайте:
183 тыс. 477 статей

Главная | Физика

Формула Ньютона-Лейбница.  Просмотрен 51

Этот предел, если он существует, если он не зависит от способа разбиения интервала [a, b] на частичные и от выбора точек ξi, называется определенным интегралом от функции f(x) по промежутку [a, b].

Функцию f(x) называют в этом случае интегрируемой на [a, b].

Sn – интегральная сумма.

Очевидно,

Теорема существования.

Если функция f(x) непрерывна на промежутке [a, b], то она и интегрируема на этом промежутке.

Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть f(x) – непрерывна на [a, b], F(x) – первообразная, т.е. F′(x) = f(x).

Разобьем промежуток [a, b] на n произвольных частей.

F(b) – F(a) = F(x1) – F(x0) + F(x2) – F(x1) + F(x3) – F(x2) + … + F(xn) – F(xn-1) =

 

П р и м е р . Вычислить площадь, ограниченную одной аркой синусоиды и осью абсцисс.

y

y = sin x

 

 

0 π

 

 

Свойства определенного интеграла.

4. Для любых трех чисел a, b, c справедливо равенство

Геометрическая иллюстрация.

1. a < c < b . Sab = Sac + Scb 2. a < b < c. Sab = Sac - Sbc

5. Если f(x) > 0 и a < b, то

Если f(x) < 0 и a < b, то

Пусть f(x) > 0, a < b, F(x) – первообразная f(x), F′(x) = f(x) > 0, следовательно, F(x) возрастает, т.е. F(b) > F(a).

Эту теорему следует учитывать при вычислении площадей криволинейных трапеций.


 

1. f(x) ≥ 0.

f(x)

 

 

a b x

 

2. f(x) ≤ 0.

a b x

 

 

3.

 

4.

 

З а д а ч и .

Вычислить площадь, ограниченную кривыми.

1.

2. y = x2 – 1, x + y – 1 = 0.

y

x2 – 1 = 1 – x, x2 – x – 2 = 0

y = 1 - x

x1 = 1, x2 = -2 .

  
 


-2 1 x

 

y = x2 - 1

 

Предыдущая статья:Тамекиин таасири Следующая статья:Интегрирование по частям.
page speed (0.2272 sec, direct)