Всего на сайте:
210 тыс. 306 статей

Главная | Электроника

Квантовая статистика .  Просмотрен 939


Распределения Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака. Вырожденный электронный газ в металлах. Энергия Ферми. Влияние температуры на распределение электронов. Сверхпроводимость. Квантовая теория теплоемкости твердых тел.


Квантовая статистика Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака


 

Состояние системы невзаимодействующих частиц за­дается с помощью так называемых чисел заполнения Ni — чисел, указывающих сте­пень заполнения квантового состояния (характеризуется данным набором i кван­товых чисел) частицами системы, состоя­щей из многих тождественных частиц. Для систем частиц, образованных бозона­ми — частицами с нулевым или целым спином , числа заполнения мо­гут принимать любые целые значения: О, 1, 2, ... .

Для систем частиц, обра­зованных фермионами — частицами с по­луцелым спином , числа запол­нения могут принимать лишь два значе­ния: 0 для свободных состояний и 1 для занятых . Сумма всех чисел за­полнения должна быть равна числу частиц системы. Квантовая статистика позволяет подсчитать среднее число частиц в данном квантовом состоянии, т. е. определить средние числа заполнения <Ni>.

Идеальный газ из бозонов — бозе-газ — описывается квантовой статистикой Бозе — Эйнштейна.

Это распределение называется распреде­лением Бозе — Эйнштейна.

 

Здесь <Ni> — среднее число бозонов в квантовом со­стоянии с энергией Ei, k — постоянная Больцмана, Т — термодинамическая тем­пература, m — химический потенциал; m не зависит от энергии, а определяется только температурой и плотностью числа частиц.

Химический потенциал определяет изменение внутренней энергии системы при добавлении к ней одной частицы при условии, что все остальные величины, от которых зависит внутренняя энергия (энтропия, объем), фиксированы.

 


Идеальный газ из фермионов — ферми-газ — описывается квантовой стати­стикой Ферми — Дирака. Распределение фермионов по энергиям имеет вид

где <Ni>—среднее число фермионов в квантовом состоянии с энергией Ei, m — химический потенциал.

Если е(Ei-m)/(kT)>>1, то распределения Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака переходят в классическое распределение Максвелла — Больцмана:

 

где

Таким образом, при высоких температурах оба «квантовых» газа ведут себя подобно классическому газу.

Температурой вырождения Тоназыва­ется температура, ниже которой отчетливо проявляются квантовые свойства идеаль­ного газа, обусловленные тождественно­стью частиц, т. е. Т0температура, при которой вырождение становится су­щественным. Если T>>T0, то поведение системы частиц (газа) описывается клас­сическими законами.

Вырожденный электронный газ в металлах

Распределение электронов по различным квантовым состояниям подчиняется прин­ципу Паули , согласно которо­му в одном состоянии не может быть двух одинаковых (с одинаковым набором четы­рех квантовых чисел) электронов, они до­лжны отличаться какой-то характеристи­кой, например направлением спина. Сле­довательно, по квантовой теории, электро­ны в металле не могут располагаться на самом низшем энергетическом уровне да­же при 0 К. Принцип Паули вынуждает электроны взбираться вверх «по энергети­ческой лестнице».

Электроны проводимости в металле можно рассматривать как идеальный газ, подчиняющийся распределению Ферми — Дирака. Если m0 — химический по­тенциал электронного газа при Т=0К, то, среднее число <N(E)> электронов в квантовом состоянии с энер­гией E равно

Для фермионов (электроны являются фермионами) среднее число частиц в кванто­вом состоянии и вероятность заселенности квантового состояния совпадают, так как квантовое состояние либо может быть не заселено, либо в нем будет находиться одна частица. Это означает, что для фермионов <N(E)> =f(E), где f(E) — функция распределения электронов по состояниям. Из (236.1) следует, что при Т=

 

функция распределения <N(E)³1, если E<m0, и <N(E)³0, если E>m0.В области энергий от 0 до m0 функция <N(E)> равна единице. При E=m0 она скачкообразно изменяется до нуля.

Это означает, что при Т=0 К все нижние квантовые состояния, вплоть до состояния с энергией E=m0, заполнены электронами, а все состояния с энергией, большей m0, свободны.
Следовательно, m0есть не что иное, как максимальная кинетическая энергия, которую могут иметь электроны проводимости в металле при 0 К. Эта мак­симальная кинетическая энергия называ­ется энергией Ферми и обозначается ЕF (EF=m0). Поэтому распределение Ферми — Дирака обычно записывается в виде

Наивысший энергетический уровень, занятый электронами, называется уровнем Ферми. Уровню Ферми соответствует энер­гия Ферми ЕF, которую имеют электроны на этом уровне. Уровень Ферми, очевидно, будет тем выше, чем больше плотность электронного газа. Работу выхода элек­трона из металла нужно отсчитывать не от дна «потенциальной ямы», как это дела­лось в классической теории, а от уровня Ферми, т. е. от верхнего из занятых элек­тронами энергетических уровней.

При температурах, отличных от 0 К, функция распределения Ферми — Дирака плавно изменяется от 1 до 0 в узкой области (порядка kT) в окрестности ЕF (рис. 312, б). В тепловом движении участвует лишь небольшое число электронов, напри­мер при комнатной температуре Т »300 К и температуре вырождения T0=3•104 К,— это 10-5 от общего числа электронов.

Если (Е-EF)>>kT тогда распределение Ферми — Дирака переходит в распределе­ние Максвелла — Больцмана. Таким об­разом, при (E-EF}>>kT, т. е. при больших значениях энергии, к электронам в металле применима классическая статистика, в то же время, когда (E-EF)<<kT, к ним при­менима только квантовая статистика Фер­ми — Дирака.

Предыдущая статья:Молекулы, химические связи. понятие об энергетических уровнях Следующая статья:Понятие о квантовой теории теплоемкости. Фононы
page speed (0.0083 sec, direct)