Всего на сайте:
166 тыс. 848 статей

Главная | Статистика

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА №2  Просмотрен 136

Е.Ю. Костюченко

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Сборник задач для практических и самостоятельных работ

Учебное пособие

 

В-Спектр

Томск, 2014


УДК 519.2

К 64

 

К 64 Костюченко Е.Ю.. Теория вероятностей и математическая статистика: сборник задач для практических и самостоятельных работ. Учебное пособие – Томск: В-Спектр, 2014. – 153 с.

 

Сборник задач для практических и самостоятельных работ по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» содержит руководство к решению задач, связанных оценкой вероятности наступления случайных событий, определением характеристик случайных величин, работой с типовыми случайными величинами, получением точечных и интервальных статистических оценок характеристик случайных величин, методам проверки статистических гипотез.

Работа поддержана Министерством образования и науки, проект № 1220 «Фундаментальные основы проектирования информационно-безопасных систем».

УДК 519.2

 

 

© Е.Ю. Костюченко, 2014
ТУСУР, каф. КИБЭВС, 2014

СОДЕРЖАНИЕ

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА №1. 4

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА №2. 23

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА №3. 37

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА №4. 55

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА №5. 76

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА №6. 109

ПРИЛОЖЕНИЯ.. 143

 

 


 

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА №1

Случайные события

Вариант 1

1. На бумажке напечатано слово КОЛОКОЛ. Слово разрезано по буквам и они перемешаны в произвольном порядке. Чему равна вероятность, что появится «слово» ЛОКОЛОК?

У нас есть слово из 7 букв, если бы все они были различные, то из них можно было бы составить число слов, определяемое количеством перестановок P(7)=7!. Однако, у нас есть одинаковые буквы и некоторые из этих перестановок могут совпадать. В частности, буква К – 2 штуки может встать на фиксированные позиции 2! способами, буква О – 3 штуки – 3! способами, Л – 2! способами. Все вместе одновременно они могут встать на фиксированные позиции 2!3!2! способами, именно такое количество вариантов для каждого «слова»
существует и столько раз каждое отдельное «слово» учтено в количестве
перестановок. Действительное же количество различных «слов» равно . Очевидно, что все из этих «слов» являются равновероятными, а устраивает нас только одно «слово» ЛОКОЛОК. По классическому определению вероятности вероятность получения этого слова равна m/n=1/30.

2. Выбраны наугад 2 действительных числа от 1 до 10. Найти вероятность, что их сумма меньше 14,5, а произведение больше 50?

Два случайно выбранных числа x и y по сути задаются точкой (x,y), принадлежащей квадрату со сторонами . Два имеющихся условия по сути могут быть записаны системой неравенств:

Графически общая область и интересующая нас область представлены на рис. 1.

Рис. 1. Область и ограничивающие условия

Из условия ясно, что все точки у нас равновероятны и событию «выполнение ограничивающих условий» соответствует событие «попадание в область между линиями». В соответствии с геометрическим определением вероятности вероятность этого событья равна , где S1 – площадь фигуры между линиями, а S2 – площадь ограничивающего квадрата. . Для нахождения S1 необходимо найти точки пересечения, для этого решим уравнение . . . Дискриминант .

. , .

Теперь площадь, ограниченная кривыми y1 и y2, пересекающимися в точках x1 и x2 может быть найдена как определенный интеграл .

Искомая вероятность .

3. Три специалиста по информационной безопасности производят независимую оценку защищенности объекта. Вероятность того, что оценка защищенности будет верной для первого специалиста равна 0,9, для второго – 0,8 и для третьего – 0,75. Найти вероятно того, что оценка хотя бы одного специалиста будет верной.

Вероятность интересующего нас события A «оценка хотя бы одного специалиста верна» может быть записана как 1-P( , где – противоположное событие «оценка ни одного из специалистов не верна».

Событие представляет собой произведение (одновременное наступление) независимых (по условию) событий , где – событие «оценка i-го из специалистов не верна». Эта вероятность может быть найдена как , где – вероятность события «оценка i-го из специалистов верна», известная из условия.

Получаем .

4. Злоумышленник может проникнуть в охраняемое помещение через дверь, крышу или окно. Вероятность обнаружения злоумышленника при проникновении через дверь 0,9, через окно – 0,8, через дверь – 0,7. Путь для проникновения злоумышленник выбирает только один случайным образом, при этом вероятность выбора двери – 0,2, окна – 0,3, а двери – 0,5.

а) Найти вероятность того, что злоумышленник не будет пойман.

б) Злоумышленник успешно проник в помещение. Найти вероятность, что проникновение осуществлялось через окно.

По условию у нас заданы вероятности P(Bi) – вероятности выбора i-го способа проникновения. Эти события (выбора i-го способа проникновения) образуют полную группу. Кроме того, заданы условные вероятности наступления события – неуспешного проникновения в помещение – для каждого из вариантов этой группы. Вероятность для варианта а) заключается в вероятности наступления искомого события любым из способов. Такая вероятность может быть найдена по формуле полной вероятности – вероятность успешного проникновения в окно .

Для варианта (б) дополнением к имеющемуся условию является состоявшееся событие «злоумышленник успешно проник в помещение» и необходимо определить способ, которым это событие наступило. Эта вероятность может быть найдена по формуле Бейеса.

.

Небольшое отличие заключается в том, что нас интересует противоположное событие – проникновение в помещение прошло успешно. Тогда формула незначительно изменится

.

Вероятность того, что злоумышленник не будет пойман 1–0,77=0,23. Получаем

.

5. Производится 20 подбрасываний игральной кости. Найти вероятность того, что единица выпадет

а) ровно 5 раз

б) от 4 до 6 раз включительно.

Нахождение вероятности осуществить двумя путями, точным и приближенным, считая, что имеем дело с «большими» числами, пояснить разницу в полученных результатах.

Вероятность наступления интересующего события ровно m раз из n испытаний может быть найдена по формуле Бернулли , где количество сочетаний .

Точное значение вероятности события «ровно 5 единиц из 20 бросков» равно

Если считать имеющиеся в условии числа достаточно большими, то можно воспользоваться локальной теоремой Лапласа, согласно которой , где . Для нашего условия .

.

Для случая (б) точный ответ может быть найден как сумма вероятностей событий «единица выпала ровно 4 раза», «… 5 раз» и «… 6 раз». Получаем

.

Приближенное значение вероятности попадания в интервал для «больших» чисел может быть найдено на основе интегральной теоремы Лапласа ), где – интегральная функция Лапласа, значения которой приведены в приложении 1. . Подставив значения, получаем . . . . .

Анализируя полученный результат, можно сделать вывод, что имеющиеся в условии числа считать «большими» проблематично – расхождение более четверти правильного ответа для варианта (б). Близость приближенного ответа к верному для варианта (а) объясняется небольшим отклонением рассматриваемого числа выпадений единиц от наиболее вероятного (x=1), и является случайным совпадением, для таких небольших чисел локальная теорема Лапласа также применяться не может.

 

 


 

Вариант 2

1. На бумажке напечатано слово АНАГРАММА. Слово разрезано по буквам и они перемешаны в произвольном порядке. Чему равна вероятность, что появится «слово» АММАРГАНА?

2. Выбраны наугад 2 действительных числа от 1 до 10. Найти вероятность, что их сумма меньше 14,5, а произведение больше 36?

3. 3 специалиста по информационной безопасности производят независимую оценку защищенности объекта. Вероятность того, что оценка защищенности будет верной для первого специалиста равна 0,05, для второго – 0,15 и для третьего – 0,9. Найти вероятно того, что оценка хотя бы одного специалиста будет верной.

4. Злоумышленник может проникнуть в охраняемое помещение через дверь, крышу или окно. Вероятность обнаружения злоумышленника при проникновении через дверь 0,4, через окно – 0,5, через дверь – 0,4. Путь для проникновения злоумышленник выбирает только один случайным образом, при этом вероятность выбора двери – 0,3, окна – 0,1, а двери – 0,6. а) Найти вероятность того, что злоумышленник не будет пойман. б) Злоумышленник успешно проник в помещение. Найти вероятность, что проникновение осуществлялось через окно.

5. Производится 18 подбрасываний игральной кости. Найти вероятность того, что единица выпадет а) ровно 16 раз б) от 13 до 18 раз включительно. Нахождение вероятности осуществить двумя путями, точным и приближенным, считая, что имеем дело с «большими» числами, пояснить разницу в полученных результатах.

 

Вариант 3

1. На бумажке напечатано слово ЛАВАНДА. Слово разрезано по буквам и они перемешаны в произвольном порядке. Чему равна вероятность, что появится «слово» АДНАВАЛ?

2. Выбраны наугад 2 действительных числа от 1 до 10. Найти вероятность, что их сумма меньше 17, а произведение больше 36?

3. 3 специалиста по информационной безопасности производят независимую оценку защищенности объекта. Вероятность того, что оценка защищенности будет верной для первого специалиста равна 0,25, для второго – 0,5 и для третьего – 0,9. Найти вероятно того, что оценка хотя бы одного специалиста будет верной.

4. Злоумышленник может проникнуть в охраняемое помещение через дверь, крышу или окно. Вероятность обнаружения злоумышленника при проникновении через дверь 0,8, через окно – 0,1, через дверь – 0,5. Путь для проникновения злоумышленник выбирает только один случайным образом, при этом вероятность выбора двери – 0,4, окна – 0,1, а двери – 0,5. а) Найти вероятность того, что злоумышленник не будет пойман. б) Злоумышленник успешно проник в помещение. Найти вероятность, что проникновение осуществлялось через окно.

5. Производится 39 подбрасываний игральной кости. Найти вероятность того, что единица выпадет а) ровно 16 раз б) от 2 до 29 раз включительно. Нахождение вероятности осуществить двумя путями, точным и приближенным, считая, что имеем дело с «большими» числами, пояснить разницу в полученных результатах.

 

Вариант 4

1.

На бумажке напечатано слово ЖЕЛЕЗО. Слово разрезано по буквам и они перемешаны в произвольном порядке. Чему равна вероятность, что появится «слово» ОЗЕЛЕЖ?

2. Выбраны наугад 2 действительных числа от 1 до 10. Найти вероятность, что их сумма меньше 17, а произведение больше 25?

3. 3 специалиста по информационной безопасности производят независимую оценку защищенности объекта. Вероятность того, что оценка защищенности будет верной для первого специалиста равна 0,45, для второго – 0,8 и для третьего – 0,3. Найти вероятно того, что оценка хотя бы одного специалиста будет верной.

4. Злоумышленник может проникнуть в охраняемое помещение через дверь, крышу или окно. Вероятность обнаружения злоумышленника при проникновении через дверь 0,4, через окно – 0,9, через дверь – 0,4. Путь для проникновения злоумышленник выбирает только один случайным образом, при этом вероятность выбора двери – 0,1, окна – 0,3, а двери – 0,6. а) Найти вероятность того, что злоумышленник не будет пойман. б) Злоумышленник успешно проник в помещение. Найти вероятность, что проникновение осуществлялось через окно.

5. Производится 36 подбрасываний игральной кости. Найти вероятность того, что единица выпадет а) ровно 4 раз б) от 2 до 5 раз включительно. Нахождение вероятности осуществить двумя путями, точным и приближенным, считая, что имеем дело с «большими» числами, пояснить разницу в полученных результатах.

 

Вариант 5

1. На бумажке напечатано слово КАНКАН. Слово разрезано по буквам и они перемешаны в произвольном порядке. Чему равна вероятность, что появится «слово» НАКНАК?

2. Выбраны наугад 2 действительных числа от 1 до 10. Найти вероятность, что их сумма меньше 11, а произведение больше 25?

3. 3 специалиста по информационной безопасности производят независимую оценку защищенности объекта. Вероятность того, что оценка защищенности будет верной для первого специалиста равна 0,2, для второго – 0,7 и для третьего – 0,15. Найти вероятно того, что оценка хотя бы одного специалиста будет верной.

4. Злоумышленник может проникнуть в охраняемое помещение через дверь, крышу или окно. Вероятность обнаружения злоумышленника при проникновении через дверь 0,6, через окно – 0,7, через дверь – 0,7. Путь для проникновения злоумышленник выбирает только один случайным образом, при этом вероятность выбора двери – 0,3, окна – 0,4, а двери – 0,3. а) Найти вероятность того, что злоумышленник не будет пойман. б) Злоумышленник успешно проник в помещение. Найти вероятность, что проникновение осуществлялось через окно.

5. Производится 39 подбрасываний игральной кости. Найти вероятность того, что единица выпадет а) ровно 20 раз б) от 14 до 25 раз включительно. Нахождение вероятности осуществить двумя путями, точным и приближенным, считая, что имеем дело с «большими» числами, пояснить разницу в полученных результатах.

 

Вариант 6

1. На бумажке напечатано слово ПЕРЕПАД. Слово разрезано по буквам и они перемешаны в произвольном порядке. Чему равна вероятность, что появится «слово» ДАПЕРЕП?

2. Выбраны наугад 2 действительных числа от 1 до 10. Найти вероятность, что их сумма меньше 11, а произведение больше 11?

3. 3 специалиста по информационной безопасности производят независимую оценку защищенности объекта. Вероятность того, что оценка защищенности будет верной для первого специалиста равна 0,6, для второго – 0,2 и для третьего – 0,3. Найти вероятно того, что оценка хотя бы одного специалиста будет верной.

4. Злоумышленник может проникнуть в охраняемое помещение через дверь, крышу или окно. Вероятность обнаружения злоумышленника при проникновении через дверь 0,2, через окно – 0,4, через дверь – 0,6. Путь для проникновения злоумышленник выбирает только один случайным образом, при этом вероятность выбора двери – 0,2, окна – 0,4, а двери – 0,4. а) Найти вероятность того, что злоумышленник не будет пойман. б) Злоумышленник успешно проник в помещение. Найти вероятность, что проникновение осуществлялось через окно.

5. Производится 14 подбрасываний игральной кости. Найти вероятность того, что единица выпадет а) ровно 9 раз б) от 5 до 12 раз включительно. Нахождение вероятности осуществить двумя путями, точным и приближенным, считая, что имеем дело с «большими» числами, пояснить разницу в полученных результатах.

 

Вариант 7

1. На бумажке напечатано слово САМСА. Слово разрезано по буквам и они перемешаны в произвольном порядке. Чему равна вероятность, что появится «слово» АСМАС?

2. Выбраны наугад 2 действительных числа от 1 до 10. Найти вероятность, что их сумма меньше 18, а произведение больше 11?

3. 3 специалиста по информационной безопасности производят независимую оценку защищенности объекта. Вероятность того, что оценка защищенности будет верной для первого специалиста равна 0,5, для второго – 0,95 и для третьего – 0,5. Найти вероятно того, что оценка хотя бы одного специалиста будет верной.

4. Злоумышленник может проникнуть в охраняемое помещение через дверь, крышу или окно. Вероятность обнаружения злоумышленника при проникновении через дверь 0,2, через окно – 0,7, через дверь – 0,9. Путь для проникновения злоумышленник выбирает только один случайным образом, при этом вероятность выбора двери – 0,4, окна – 0,3, а двери – 0,3. а) Найти вероятность того, что злоумышленник не будет пойман. б) Злоумышленник успешно проник в помещение. Найти вероятность, что проникновение осуществлялось через окно.

5. Производится 34 подбрасываний игральной кости. Найти вероятность того, что единица выпадет а) ровно 16 раз б) от 13 до 19 раз включительно. Нахождение вероятности осуществить двумя путями, точным и приближенным, считая, что имеем дело с «большими» числами, пояснить разницу в полученных результатах.

 

Вариант 8

1. На бумажке напечатано слово СИНАГОГА. Слово разрезано по буквам и они перемешаны в произвольном порядке. Чему равна вероятность, что появится «слово» АГОГАНИС?

2. Выбраны наугад 2 действительных числа от 1 до 10. Найти вероятность, что их сумма меньше 18, а произведение больше 6?

3. 3 специалиста по информационной безопасности производят независимую оценку защищенности объекта. Вероятность того, что оценка защищенности будет верной для первого специалиста равна 0,05, для второго – 0,35 и для третьего – 0,9. Найти вероятно того, что оценка хотя бы одного специалиста будет верной.

4. Злоумышленник может проникнуть в охраняемое помещение через дверь, крышу или окно. Вероятность обнаружения злоумышленника при проникновении через дверь 0,8, через окно – 0,3, через дверь – 0,9. Путь для проникновения злоумышленник выбирает только один случайным образом, при этом вероятность выбора двери – 0,2, окна – 0,1, а двери – 0,7.

а) Найти вероятность того, что злоумышленник не будет пойман.

б) Злоумышленник успешно проник в помещение. Найти вероятность, что проникновение осуществлялось через окно.

5. Производится 32 подбрасываний игральной кости. Найти вероятность того, что единица выпадет: а) ровно 24 раз; б) от 16 до 31 раз включительно. Нахождение вероятности осуществить двумя путями, точным и приближенным, считая, что имеем дело с «большими» числами, пояснить разницу в полученных результатах.

 

Вариант 9

1. На бумажке напечатано слово ПОТОЛОК. Слово разрезано по буквам и они перемешаны в произвольном порядке. Чему равна вероятность, что появится «слово» КОЛОТОП?

2. Выбраны наугад 2 действительных числа от 1 до 10. Найти вероятность, что их сумма меньше 16, а произведение больше 6?

3. 3 специалиста по информационной безопасности производят независимую оценку защищенности объекта. Вероятность того, что оценка защищенности будет верной для первого специалиста равна 0,65, для второго – 0,5 и для третьего – 0,55. Найти вероятно того, что оценка хотя бы одного специалиста будет верной.

4. Злоумышленник может проникнуть в охраняемое помещение через дверь, крышу или окно. Вероятность обнаружения злоумышленника при проникновении через дверь 0,2, через окно – 0,9, через дверь – 0,1. Путь для проникновения злоумышленник выбирает только один случайным образом, при этом вероятность выбора двери – 0,2, окна – 0,1, а двери – 0,7. а) Найти вероятность того, что злоумышленник не будет пойман. б) Злоумышленник успешно проник в помещение. Найти вероятность, что проникновение осуществлялось через окно.

5.

Производится 38 подбрасываний игральной кости. Найти вероятность того, что единица выпадет а) ровно 5 раз б) от 2 до 8 раз включительно. Нахождение вероятности осуществить двумя путями, точным и приближенным, считая, что имеем дело с «большими» числами, пояснить разницу в полученных результатах.

 

Вариант 10

1. На бумажке напечатано слово САВАННА. Слово разрезано по буквам и они перемешаны в произвольном порядке. Чему равна вероятность, что появится «слово» АННАВАС?

2. Выбраны наугад 2 действительных числа от 1 до 10. Найти вероятность, что их сумма меньше 16, а произведение больше 55?

3. 3 специалиста по информационной безопасности производят независимую оценку защищенности объекта. Вероятность того, что оценка защищенности будет верной для первого специалиста равна 0,25, для второго – 0,6 и для третьего – 0,5. Найти вероятно того, что оценка хотя бы одного специалиста будет верной.

4. Злоумышленник может проникнуть в охраняемое помещение через дверь, крышу или окно. Вероятность обнаружения злоумышленника при проникновении через дверь 0,4, через окно – 0,1, через дверь – 0,3. Путь для проникновения злоумышленник выбирает только один случайным образом, при этом вероятность выбора двери – 0,2, окна – 0,4, а двери – 0,4. а) Найти вероятность того, что злоумышленник не будет пойман. б) Злоумышленник успешно проник в помещение. Найти вероятность, что проникновение осуществлялось через окно.

5. Производится 46 подбрасываний игральной кости. Найти вероятность того, что единица выпадет а) ровно 43 раз б) от 42 до 44 раз включительно. Нахождение вероятности осуществить двумя путями, точным и приближенным, считая, что имеем дело с «большими» числами, пояснить разницу в полученных результатах.

 

Вариант 11

1. На бумажке напечатано слово АНАНАС. Слово разрезано по буквам и они перемешаны в произвольном порядке. Чему равна вероятность, что появится «слово» САНАНА?

2. Выбраны наугад 2 действительных числа от 1 до 10. Найти вероятность, что их сумма меньше 19,5, а произведение больше 90?

3. 3 специалиста по информационной безопасности производят независимую оценку защищенности объекта. Вероятность того, что оценка защищенности будет верной для первого специалиста равна 0,3, для второго – 0,15 и для третьего – 0,95. Найти вероятно того, что оценка хотя бы одного специалиста будет верной.

4. Злоумышленник может проникнуть в охраняемое помещение через дверь, крышу или окно. Вероятность обнаружения злоумышленника при проникновении через дверь 0,6, через окно – 0,1, через дверь – 0,6. Путь для проникновения злоумышленник выбирает только один случайным образом, при этом вероятность выбора двери – 0,4, окна – 0,4, а двери – 0,2. а) Найти вероятность того, что злоумышленник не будет пойман. б) Злоумышленник успешно проник в помещение. Найти вероятность, что проникновение осуществлялось через окно.

5. Производится 21 подбрасываний игральной кости. Найти вероятность того, что единица выпадет а) ровно 14 раз б) от 8 до 19 раз включительно. Нахождение вероятности осуществить двумя путями, точным и приближенным, считая, что имеем дело с «большими» числами, пояснить разницу в полученных результатах.

 

Вариант 12

1. На бумажке напечатано слово КОКАРДА. Слово разрезано по буквам и они перемешаны в произвольном порядке. Чему равна вероятность, что появится «слово» АДРАКОК?

2. Выбраны наугад 2 действительных числа от 1 до 10. Найти вероятность, что их сумма меньше 19,5, а произведение больше 4?

3. 3 специалиста по информационной безопасности производят независимую оценку защищенности объекта. Вероятность того, что оценка защищенности будет верной для первого специалиста равна 0,55, для второго – 0,3 и для третьего – 0,85. Найти вероятно того, что оценка хотя бы одного специалиста будет верной.

4. Злоумышленник может проникнуть в охраняемое помещение через дверь, крышу или окно. Вероятность обнаружения злоумышленника при проникновении через дверь 0,4, через окно – 0,9, через дверь – 0,1. Путь для проникновения злоумышленник выбирает только один случайным образом, при этом вероятность выбора двери – 0,4, окна – 0,4, а двери – 0,2. а) Найти вероятность того, что злоумышленник не будет пойман. б) Злоумышленник успешно проник в помещение. Найти вероятность, что проникновение осуществлялось через окно.

5. Производится 10 подбрасываний игральной кости. Найти вероятность того, что единица выпадет а) ровно 2 раз б) от 1 до 5 раз включительно. Нахождение вероятности осуществить двумя путями, точным и приближенным, считая, что имеем дело с «большими» числами, пояснить разницу в полученных результатах.

 

Вариант 13

1. На бумажке напечатано слово САМОСВАЛ. Слово разрезано по буквам и они перемешаны в произвольном порядке. Чему равна вероятность, что появится «слово» ЛАВСОМАС?

2. Выбраны наугад 2 действительных числа от 1 до 10. Найти вероятность, что их сумма меньше 10, а произведение больше 23?

3. 3 специалиста по информационной безопасности производят независимую оценку защищенности объекта. Вероятность того, что оценка защищенности будет верной для первого специалиста равна 0,2, для второго – 0,05 и для третьего – 0,55. Найти вероятно того, что оценка хотя бы одного специалиста будет верной.

4. Злоумышленник может проникнуть в охраняемое помещение через дверь, крышу или окно. Вероятность обнаружения злоумышленника при проникновении через дверь 0,5, через окно – 0,1, через дверь – 0,3. Путь для проникновения злоумышленник выбирает только один случайным образом, при этом вероятность выбора двери – 0,1, окна – 0,1, а двери – 0,8. а) Найти вероятность того, что злоумышленник не будет пойман. б) Злоумышленник успешно проник в помещение. Найти вероятность, что проникновение осуществлялось через окно.

5. Производится 47 подбрасываний игральной кости. Найти вероятность того, что единица выпадет а) ровно 37 раз б) от 28 до 45 раз включительно. Нахождение вероятности осуществить двумя путями, точным и приближенным, считая, что имеем дело с «большими» числами, пояснить разницу в полученных результатах.

 

Вариант 14

1. На бумажке напечатано слово МИСТИЦИЗМ. Слово разрезано по буквам и они перемешаны в произвольном порядке. Чему равна вероятность, что появится «слово» МЗИЦИТСИМ?

2. Выбраны наугад 2 действительных числа от 1 до 10. Найти вероятность, что их сумма меньше 15, а произведение больше 56?

3. 3 специалиста по информационной безопасности производят независимую оценку защищенности объекта. Вероятность того, что оценка защищенности будет верной для первого специалиста равна 0,55, для второго – 0,2 и для третьего – 0,55. Найти вероятно того, что оценка хотя бы одного специалиста будет верной.

4. Злоумышленник может проникнуть в охраняемое помещение через дверь, крышу или окно. Вероятность обнаружения злоумышленника при проникновении через дверь 0,5, через окно – 0,8, через дверь – 0,2. Путь для проникновения злоумышленник выбирает только один случайным образом, при этом вероятность выбора двери – 0,3, окна – 0,1, а двери – 0,6. а) Найти вероятность того, что злоумышленник не будет пойман. б) Злоумышленник успешно проник в помещение. Найти вероятность, что проникновение осуществлялось через окно.

5. Производится 36 подбрасываний игральной кости. Найти вероятность того, что единица выпадет а) ровно 27 раз б) от 20 до 34 раз включительно. Нахождение вероятности осуществить двумя путями, точным и приближенным, считая, что имеем дело с «большими» числами, пояснить разницу в полученных результатах.

 

Вариант 15

1. На бумажке напечатано слово ПЕРЕКУР. Слово разрезано по буквам и они перемешаны в произвольном порядке. Чему равна вероятность, что появится «слово» РУКЕРЕП?

2. Выбраны наугад 2 действительных числа от 1 до 10. Найти вероятность, что их сумма меньше 8, а произведение больше 15?

3. 3 специалиста по информационной безопасности производят независимую оценку защищенности объекта. Вероятность того, что оценка защищенности будет верной для первого специалиста равна 0,65, для второго – 0,75 и для третьего – 0,8. Найти вероятно того, что оценка хотя бы одного специалиста будет верной.

4. Злоумышленник может проникнуть в охраняемое помещение через дверь, крышу или окно.

Вероятность обнаружения злоумышленника при проникновении через дверь 0,6, через окно – 0,7, через дверь – 0,3. Путь для проникновения злоумышленник выбирает только один случайным образом, при этом вероятность выбора двери – 0,1, окна – 0,3, а двери – 0,6. а) Найти вероятность того, что злоумышленник не будет пойман. б) Злоумышленник успешно проник в помещение. Найти вероятность, что проникновение осуществлялось через окно.

5. Производится 24 подбрасываний игральной кости. Найти вероятность того, что единица выпадет а) ровно 17 раз б) от 10 до 23 раз включительно. Нахождение вероятности осуществить двумя путями, точным и приближенным, считая, что имеем дело с «большими» числами, пояснить разницу в полученных результатах.

 

Вариант 16

1. На бумажке напечатано слово МАССОВКА. Слово разрезано по буквам и они перемешаны в произвольном порядке. Чему равна вероятность, что появится «слово» АКВОССАМ?

2. Выбраны наугад 2 действительных числа от 1 до 10. Найти вероятность, что их сумма меньше 11, а произведение больше 20?

3. 3 специалиста по информационной безопасности производят независимую оценку защищенности объекта. Вероятность того, что оценка защищенности будет верной для первого специалиста равна 0,45, для второго – 0,6 и для третьего – 0,4. Найти вероятно того, что оценка хотя бы одного специалиста будет верной.

4. Злоумышленник может проникнуть в охраняемое помещение через дверь, крышу или окно. Вероятность обнаружения злоумышленника при проникновении через дверь 0,7, через окно – 0,4, через дверь – 0,4. Путь для проникновения злоумышленник выбирает только один случайным образом, при этом вероятность выбора двери – 0,4, окна – 0,1, а двери – 0,5. а) Найти вероятность того, что злоумышленник не будет пойман. б) Злоумышленник успешно проник в помещение. Найти вероятность, что проникновение осуществлялось через окно.

5. Производится 43 подбрасываний игральной кости. Найти вероятность того, что единица выпадет а) ровно 23 раз б) от 19 до 27 раз включительно. Нахождение вероятности осуществить двумя путями, точным и приближенным, считая, что имеем дело с «большими» числами, пояснить разницу в полученных результатах.

 

Вариант 17

1. На бумажке напечатано слово ПРОКУРОР. Слово разрезано по буквам и они перемешаны в произвольном порядке. Чему равна вероятность, что появится «слово» РОРУКОРП?

2. Выбраны наугад 2 действительных числа от 1 до 10. Найти вероятность, что их сумма меньше 13, а произведение больше 36?

3. 3 специалиста по информационной безопасности производят независимую оценку защищенности объекта. Вероятность того, что оценка защищенности будет верной для первого специалиста равна 0,05, для второго – 0,2 и для третьего – 0,65. Найти вероятно того, что оценка хотя бы одного специалиста будет верной.

4. Злоумышленник может проникнуть в охраняемое помещение через дверь, крышу или окно. Вероятность обнаружения злоумышленника при проникновении через дверь 0,6, через окно – 0,9, через дверь – 0,8. Путь для проникновения злоумышленник выбирает только один случайным образом, при этом вероятность выбора двери – 0,2, окна – 0,3, а двери – 0,5. а) Найти вероятность того, что злоумышленник не будет пойман. б) Злоумышленник успешно проник в помещение. Найти вероятность, что проникновение осуществлялось через окно.

5. Производится 7 подбрасываний игральной кости. Найти вероятность того, что единица выпадет а) ровно 3 раз б) от 1 до 4 раз включительно. Нахождение вероятности осуществить двумя путями, точным и приближенным, считая, что имеем дело с «большими» числами, пояснить разницу в полученных результатах.

 

Вариант 18

1. На бумажке напечатано слово ТЕЛЕТЕКСТ. Слово разрезано по буквам и они перемешаны в произвольном порядке. Чему равна вероятность, что появится «слово» ТСКЕТЕЛЕТ?

2. Выбраны наугад 2 действительных числа от 1 до 10. Найти вероятность, что их сумма меньше 15, а произведение больше 49?

3. 3 специалиста по информационной безопасности производят независимую оценку защищенности объекта. Вероятность того, что оценка защищенности будет верной для первого специалиста равна 0,35, для второго – 0,8 и для третьего – 0,6. Найти вероятно того, что оценка хотя бы одного специалиста будет верной.

4. Злоумышленник может проникнуть в охраняемое помещение через дверь, крышу или окно. Вероятность обнаружения злоумышленника при проникновении через дверь 0,8, через окно – 0,6, через дверь – 0,7. Путь для проникновения злоумышленник выбирает только один случайным образом, при этом вероятность выбора двери – 0,4, окна – 0,4, а двери – 0,2. а) Найти вероятность того, что злоумышленник не будет пойман. б) Злоумышленник успешно проник в помещение. Найти вероятность, что проникновение осуществлялось через окно.

5. Производится 17 подбрасываний игральной кости. Найти вероятность того, что единица выпадет а) ровно 13 раз б) от 11 до 15 раз включительно. Нахождение вероятности осуществить двумя путями, точным и приближенным, считая, что имеем дело с «большими» числами, пояснить разницу в полученных результатах.

 

Вариант 19

1. На бумажке напечатано слово КАБАРГА. Слово разрезано по буквам и они перемешаны в произвольном порядке. Чему равна вероятность, что появится «слово» АГРАБАК?

2. Выбраны наугад 2 действительных числа от 1 до 10. Найти вероятность, что их сумма меньше 18, а произведение больше 40?

3. 3 специалиста по информационной безопасности производят независимую оценку защищенности объекта. Вероятность того, что оценка защищенности будет верной для первого специалиста равна 0,05, для второго – 0,35 и для третьего – 0,2. Найти вероятно того, что оценка хотя бы одного специалиста будет верной.

4. Злоумышленник может проникнуть в охраняемое помещение через дверь, крышу или окно. Вероятность обнаружения злоумышленника при проникновении через дверь 0,1, через окно – 0,5, через дверь – 0,5. Путь для проникновения злоумышленник выбирает только один случайным образом, при этом вероятность выбора двери – 0,2, окна – 0,2, а двери – 0,6. а) Найти вероятность того, что злоумышленник не будет пойман. б) Злоумышленник успешно проник в помещение. Найти вероятность, что проникновение осуществлялось через окно.

5. Производится 45 подбрасываний игральной кости. Найти вероятность того, что единица выпадет а) ровно 25 раз б) от 19 до 30 раз включительно. Нахождение вероятности осуществить двумя путями, точным и приближенным, считая, что имеем дело с «большими» числами, пояснить разницу в полученных результатах.

 

Вариант 20

1. На бумажке напечатано слово САМОСТРЕЛ. Слово разрезано по буквам и они перемешаны в произвольном порядке. Чему равна вероятность, что появится «слово» ЛЕРТСОМАС?

2. Выбраны наугад 2 действительных числа от 1 до 10. Найти вероятность, что их сумма меньше 17, а произведение больше 30?

3. 3 специалиста по информационной безопасности производят независимую оценку защищенности объекта. Вероятность того, что оценка защищенности будет верной для первого специалиста равна 0,85, для второго – 0,65 и для третьего – 0,4. Найти вероятно того, что оценка хотя бы одного специалиста будет верной.

4. Злоумышленник может проникнуть в охраняемое помещение через дверь, крышу или окно. Вероятность обнаружения злоумышленника при проникновении через дверь 0,2, через окно – 0,4, через дверь – 0,6. Путь для проникновения злоумышленник выбирает только один случайным образом, при этом вероятность выбора двери – 0,1, окна – 0,2, а двери – 0,7. а) Найти вероятность того, что злоумышленник не будет пойман. б) Злоумышленник успешно проник в помещение. Найти вероятность, что проникновение осуществлялось через окно.

5. Производится 35 подбрасываний игральной кости. Найти вероятность того, что единица выпадет а) ровно 21 раз б) от 10 до 32 раз включительно. Нахождение вероятности осуществить двумя путями, точным и приближенным, считая, что имеем дело с «большими» числами, пояснить разницу в полученных результатах.

 

Вариант 21

1. На бумажке напечатано слово ШИНШИЛЛА. Слово разрезано по буквам и они перемешаны в произвольном порядке. Чему равна вероятность, что появится «слово» АЛЛИШНИШ?

2. Выбраны наугад 2 действительных числа от 1 до 10.

Найти вероятность, что их сумма меньше 16, а произведение больше 53?

3. 3 специалиста по информационной безопасности производят независимую оценку защищенности объекта. Вероятность того, что оценка защищенности будет верной для первого специалиста равна 0,3, для второго – 0,65 и для третьего – 0,6. Найти вероятно того, что оценка хотя бы одного специалиста будет верной.

4. Злоумышленник может проникнуть в охраняемое помещение через дверь, крышу или окно. Вероятность обнаружения злоумышленника при проникновении через дверь 0,6, через окно – 0,7, через дверь – 0,1. Путь для проникновения злоумышленник выбирает только один случайным образом, при этом вероятность выбора двери – 0,2, окна – 0,4, а двери – 0,4. а) Найти вероятность того, что злоумышленник не будет пойман. б) Злоумышленник успешно проник в помещение. Найти вероятность, что проникновение осуществлялось через окно.

5. Производится 42 подбрасываний игральной кости. Найти вероятность того, что единица выпадет а) ровно 22 раз б) от 20 до 24 раз включительно. Нахождение вероятности осуществить двумя путями, точным и приближенным, считая, что имеем дело с «большими» числами, пояснить разницу в полученных результатах.

 

Вариант 22

1. На бумажке напечатано слово СЕНОКОС. Слово разрезано по буквам и они перемешаны в произвольном порядке. Чему равна вероятность, что появится «слово» СОКОНЕС?

2. Выбраны наугад 2 действительных числа от 1 до 10. Найти вероятность, что их сумма меньше 9, а произведение больше 13?

3. 3 специалиста по информационной безопасности производят независимую оценку защищенности объекта. Вероятность того, что оценка защищенности будет верной для первого специалиста равна 0,3, для второго – 0,35 и для третьего – 0,75. Найти вероятно того, что оценка хотя бы одного специалиста будет верной.

4. Злоумышленник может проникнуть в охраняемое помещение через дверь, крышу или окно. Вероятность обнаружения злоумышленника при проникновении через дверь 0,8, через окно – 0,2, через дверь – 0,4. Путь для проникновения злоумышленник выбирает только один случайным образом, при этом вероятность выбора двери – 0,2, окна – 0,4, а двери – 0,4. а) Найти вероятность того, что злоумышленник не будет пойман. б) Злоумышленник успешно проник в помещение. Найти вероятность, что проникновение осуществлялось через окно.

5. Производится 48 подбрасываний игральной кости. Найти вероятность того, что единица выпадет а) ровно 24 раз б) от 2 до 46 раз включительно. Нахождение вероятности осуществить двумя путями, точным и приближенным, считая, что имеем дело с «большими» числами, пояснить разницу в полученных результатах.

 

Вариант 23

1. На бумажке напечатано слово ВОДОПРОВОД. Слово разрезано по буквам и они перемешаны в произвольном порядке. Чему равна вероятность, что появится «слово» ДОВОРПОДОВ?

2. Выбраны наугад 2 действительных числа от 1 до 10. Найти вероятность, что их сумма меньше 11,5, а произведение больше 5?

3. 3 специалиста по информационной безопасности производят независимую оценку защищенности объекта. Вероятность того, что оценка защищенности будет верной для первого специалиста равна 0,55, для второго – 0,45 и для третьего – 0,15. Найти вероятно того, что оценка хотя бы одного специалиста будет верной.

4. Злоумышленник может проникнуть в охраняемое помещение через дверь, крышу или окно. Вероятность обнаружения злоумышленника при проникновении через дверь 0,4, через окно – 0,2, через дверь – 0,6. Путь для проникновения злоумышленник выбирает только один случайным образом, при этом вероятность выбора двери – 0,4, окна – 0,4, а двери – 0,2. а) Найти вероятность того, что злоумышленник не будет пойман. б) Злоумышленник успешно проник в помещение. Найти вероятность, что проникновение осуществлялось через окно.

5. Производится 47 подбрасываний игральной кости. Найти вероятность того, что единица выпадет а) ровно 7 раз б) от 5 до 8 раз включительно. Нахождение вероятности осуществить двумя путями, точным и приближенным, считая, что имеем дело с «большими» числами, пояснить разницу в полученных результатах.

 

Вариант 24

1. На бумажке напечатано слово КОММУНИЗМ. Слово разрезано по буквам и они перемешаны в произвольном порядке. Чему равна вероятность, что появится «слово» МЗИНУММОК?

2. Выбраны наугад 2 действительных числа от 1 до 10. Найти вероятность, что их сумма меньше 8, а произведение больше 14,5?

3. 3 специалиста по информационной безопасности производят независимую оценку защищенности объекта. Вероятность того, что оценка защищенности будет верной для первого специалиста равна 0,25, для второго – 0,3 и для третьего – 0,25. Найти вероятно того, что оценка хотя бы одного специалиста будет верной.

4. Злоумышленник может проникнуть в охраняемое помещение через дверь, крышу или окно. Вероятность обнаружения злоумышленника при проникновении через дверь 0,5, через окно – 0,2, через дверь – 0,4. Путь для проникновения злоумышленник выбирает только один случайным образом, при этом вероятность выбора двери – 0,4, окна – 0,1, а двери – 0,5. а) Найти вероятность того, что злоумышленник не будет пойман. б) Злоумышленник успешно проник в помещение. Найти вероятность, что проникновение осуществлялось через окно.

5. Производится 12 подбрасываний игральной кости. Найти вероятность того, что единица выпадет а) ровно 4 раз б) от 1 до 7 раз включительно. Нахождение вероятности осуществить двумя путями, точным и приближенным, считая, что имеем дело с «большими» числами, пояснить разницу в полученных результатах.

 

Вариант 25

1. На бумажке напечатано слово КАРАКУРТ. Слово разрезано по буквам и они перемешаны в произвольном порядке. Чему равна вероятность, что появится «слово» ТРУКАРАК?

2. Выбраны наугад 2 действительных числа от 1 до 10. Найти вероятность, что их сумма меньше 3, а произведение больше 2?

3. 3 специалиста по информационной безопасности производят независимую оценку защищенности объекта. Вероятность того, что оценка защищенности будет верной для первого специалиста равна 0,1, для второго – 0,7 и для третьего – 0,95. Найти вероятно того, что оценка хотя бы одного специалиста будет верной.

4. Злоумышленник может проникнуть в охраняемое помещение через дверь, крышу или окно. Вероятность обнаружения злоумышленника при проникновении через дверь 0,3, через окно – 0,5, через дверь – 0,5. Путь для проникновения злоумышленник выбирает только один случайным образом, при этом вероятность выбора двери – 0,2, окна – 0,4, а двери – 0,4. а) Найти вероятность того, что злоумышленник не будет пойман. б) Злоумышленник успешно проник в помещение. Найти вероятность, что проникновение осуществлялось через окно.

5. Производится 49 подбрасываний игральной кости. Найти вероятность того, что единица выпадет а) ровно 30 раз б) от 26 до 34 раз включительно. Нахождение вероятности осуществить двумя путями, точным и приближенным, считая, что имеем дело с «большими» числами, пояснить разницу в полученных результатах.

 

Вариант 26

1. На бумажке напечатано слово ТАРАНТАС. Слово разрезано по буквам и они перемешаны в произвольном порядке. Чему равна вероятность, что появится «слово» САТНАРАТ?

2. Выбраны наугад 2 действительных числа от 1 до 10. Найти вероятность, что их сумма меньше 10, а произведение больше 20?

3. 3 специалиста по информационной безопасности производят независимую оценку защищенности объекта. Вероятность того, что оценка защищенности будет верной для первого специалиста равна 0,55, для второго – 0,55 и для третьего – 0,45. Найти вероятно того, что оценка хотя бы одного специалиста будет верной.

4. Злоумышленник может проникнуть в охраняемое помещение через дверь, крышу или окно. Вероятность обнаружения злоумышленника при проникновении через дверь 0,4, через окно – 0,3, через дверь – 0,6. Путь для проникновения злоумышленник выбирает только один случайным образом, при этом вероятность выбора двери – 0,3, окна – 0,4, а двери – 0,3. а) Найти вероятность того, что злоумышленник не будет пойман. б) Злоумышленник успешно проник в помещение. Найти вероятность, что проникновение осуществлялось через окно.

5. Производится 12 подбрасываний игральной кости. Найти вероятность того, что единица выпадет а) ровно 6 раз б) от 4 до 7 раз включительно. Нахождение вероятности осуществить двумя путями, точным и приближенным, считая, что имеем дело с «большими» числами, пояснить разницу в полученных результатах.


 

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА №2

Предыдущая статья:О событиях 1240-1242 гг. Следующая статья:Случайные ВЕличины 1 1 страница
page speed (0.119 sec, direct)