Всего на сайте:
183 тыс. 477 статей

Главная | Автоматизация производства

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ  Просмотрен 170

Лабораторная работа № 3

 

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ

Методические указания

 

Устойчивость САУ является одним из основных условий ее работоспособности и включает требование затухания во времени переходных процессов.

Система является устойчивой, если при ограниченном входном сигнале её выходной сигнал также является ограниченным. Если система устойчива, то она противостоит внешним воздействиям, а выведенная из состояния равновесия возвращается снова к нему.

Система с расходящимся переходным процессом будет неустойчивой и неработоспособной.

Одним из первых свойства устойчивости были исследованы русским ученым А. М. Ляпуновым в 1892 г. в работе «Общая задача об устойчивости движения». Необходимое и достаточное условие устойчивости заключается в том, чтобы все корни характеристического уравнения (полюсы передаточной функции системы) имели отрицательные вещественные части. Иначе говоря, условием устойчивости системы является расположение всех полюсов в левой комплексной полуплоскости. Тогда все полюсы будут давать затухающую реакцию.

Выше сформулированное условие устойчивости справедливо как для линейных, так и для линеаризованных систем. Однако в случае

нулевых или чисто мнимых корней характеристического уравнения

вопрос об устойчивости линеаризованной системы может быть решен только на основании исследования ее нелинейных уравнений.

В конце XIX и первой половине XX в. задача вычисления корней

характеристического уравнения высокого порядка вызывала большие проблемы. Поэтому были предложены несколько косвенных методов оценки устойчивости, позволяющих обойтись без вычисления корней – по значениям коэффициентов характеристического уравнения.

Критерии устойчивости разделяют на алгебраические и частотные. В частности, к алгебраическим критериям относится критерий

Гурвица, к частотным критерия – критерий Найквиста.

 

Критерий Гурвица является алгебраическим критерием и применяется к коэффициентам характеристического уравнения замкнутой системы.

Пусть имеется характеристическое уравнение замкнутой системы:

 

 

a0sn + a1sn-1 + …+ an-1s + an = 0

 

Из коэффициентов характеристического уравнения составляют

определитель по правилу:

1. По диагонали записываются коэффициенты от а1 до аn.

2.

Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающими индексами слева направо так, чтобы чередовались строки с нечетными и четными индексами.

3. В случае отсутствия индекса, а также, если он меньше 0 или

больше n, на его место пишется 0.

Таким образом, определитель Гурвица приобретает следующий вид:

 

Δn =

 

Критерий устойчивости формулируется так:

Чтобы система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы

при a0 > 0 были положительными все n диагональных миноров, получаемых из определителя Гурвица.

Первые три минора определителя Гурвица имеют следующий вид:

 

 

Δ1 = a1 ; Δ2 = ; Δ3 = ; …….

 

 

Таким образом, критерий Гурвица позволяет судить об абсолютной устойчивости, но не дает возможности оценивать относительную устойчивость по корням характеристического уравнения.

 

Частотный критерий устойчивости Найквиста анализирует

АФЧХ разомкнутой системы.

Пусть имеется ПФ разомкнутой системы W(). Для нахождения вещественной и мнимой части частотной ПФ нужно освободиться от мнимости в знаменателе путем умножения числителя и знаменателя на комплексную величину, сопряженную знаменателю, а затем выполнить разделение на вещественную и мнимую части.

Передаточная функция приобретает вид

 

 

Задаваясь различными значениями частоты, можно найти множество пар:

 

Затем по этим парам строится АФЧХ на комплексной плоскости.

 

Основные свойства АФЧХ разомкнутой системы:

 

1. Если разомкнутая система не имеет интегрирующих звеньев, то

при ω = 0 ее АФЧХ начинается на вещественной оси в точке P(ω)=K

(где K – коэффициент усиления разомкнутой системы). Заканчивается АФЧХ в начале координат при ω → ∞∞ (рис. 1, а).

2. Если разомкнутая система имеет одно интегрирующее звено, то ее

АФЧХ начинается при ω = 0 в бесконечности на отрицательной мнимой

полуоси, а заканчивается в начале координат при ω → ∞∞ (рис. 1, б).

 

Критерий устойчивости Найквиста формулируется так:

 

1. Если разомкнутая система устойчива, то для того чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты ω от 0 до ∞∞ не охватывала точку с координатами –1,j0.

2. Если разомкнутая система неустойчива или находится на границе устойчивости, а ее передаточная функция имеет m полюсов справа от мнимой оси на комплексной плоскости, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты ω от – ∞∞до

+ ∞∞ охватывала m раз точку с координатами –1, j0.

При использовании этого критерия нужно учитывать две особенности:

 

1. Если разомкнутая система находится на границе устойчивости, то ее АФЧХ уходит в бесконечность. Для проверки критерия Найквиста нужно мысленно соединить конец АФЧХ дугой бесконечно

большого радиуса с положительной вещественной полуосью.

2. На практике АФЧХ может строиться только для положительных частот (0 ≤ ω < + ∞). При применении критерия Найквиста считается, что ветвь АФЧХ для отрицательных частот симметрична относительно вещественной оси.

Для анализа устойчивости можно использовать не АФЧХ, а ЛАХ системы (для минимально)фазовых систем).

Система устойчива, если на частоте среза значение фазы не превышает – π. Соответственно для устойчивой системы можно рассматривать на ЛФЧХ запас устойчивости по фазе – расстояние от значения фазы на частоте среза до уровня – π , и запас устойчивости по амплитуде – расстояние от оси частот ЛАЧХ до значения усиления на частоте, где фаза становится равной – π .

 

Предыдущая статья:Порядок выполнения работы, создать матрицу Следующая статья:Использование MatLab
page speed (0.1989 sec, direct)