Предел функции   173

МАТЕМАТИКА

(избранные главы)

для специальности

40.02.01 Право и организация социального обеспечения

Мурманск

 

Предел функции

 

Вопросы к теме

1. Понятие предела функции. Свойства бесконечно больших и бесконечно малых функций. Теоремы о пределах.

2. Вычисления предела с неопределённостями типа .

Краткие теоретические сведения

Число А называется пределом функции при , если для любого можно указать такое , что для любого , удовлетворяющего неравенству , выполняется неравенство .

В этом случае пишут .

Функция называется бесконечно малой при , если

Функция называется бесконечно большой при , если

Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций:

10. Если и - бесконечно малые при , то их сумма при также является бесконечно малой.

20. Если бесконечно малая функция при , а ограниченная функция, то их произведение есть функция бесконечно малая.

30. Если при функция имеет конечный предел, а функция - бесконечно большая, то

40. Если - бесконечно малая функция при , то функция бесконечно большая и наоборот.

Теоремы о пределах:

Теорема 1. Если существуют пределы и при , то существует также и предел их суммы, равный сумме пределов функций и .

Теорема 2. Если существуют пределы и при , то существует также и предел их произведения, равный произведению пределов функций и .

Теорема 3. Если существуют пределы и при и то существует также и предел отношения, равный отношению пределов функций и .

.

Следствие 1. Постоянный множитель можно вынести за знак предела:

Следствие 2. Если , то

Следствие 3.

Предел многочлена (целой рациональной функции) при равен значению этого многочлена при , т.е.

Следствие 4. Предел дробно-рациональной функции

при равен значению этой функции при , если принадлежит области определения функции, т.е.

Рассмотрим некоторые примеры.

Вычислить пределы:

1.1. 1.2. .

£ 1.1. По правилу нахождения предела многочлена находим

1.2.Так как при знаменатель дроби отличен от нуля, то по правилу нахождения предела дробно-рациональной функции получим

¢

2.1. 2.2. 2.3.

£ 2.1. Здесь предел делителя равен нулю: . Следовательно, теорему о пределе частного применить нельзя. Так как , то при есть величина бесконечно малая, а обратная ей величина – бесконечно большая. Поэтому при произведение есть величина бесконечно большая, т.е.

2.2.

Здесь пределы числителя при равны нулю. Непосредственной подстановкой вместо аргумента его предельного значения вычислить предел нельзя, так как при получается отношение двух бесконечно малых величин.

Разложим числитель и знаменатель на множители, чтобы сократить дробь на общий множитель, стремящийся к нулю, и, следовательно, сделать возможным применение теоремы 3. Нужно иметь в виду, что здесь не производится сокращение на нуль, что недопустимо. По определению предела функции аргумент стремится к своему предельному значению, никогда не принимая этого значения; поэтому до перехода к пределу можно произвести сокращение на множитель, стремящийся к нулю. Имеем

2.3. Пределы числителя и знаменателя при равны нулю: Разложим квадратный трехчлен в числители на линейные множители по формуле где и – корни трехчлена. Разложив на множители знаменатель, сократим дробь на Используя следствие 4, получим ¢

3.1. 3.2.

£ 3.1. Пределы числителя и знаменателя при равны нулю. Умножив числитель и знаменатель на сопряженный знаменателю множитель и затем сократив дробь на , получим

3.2. Очевидно, что при функция представляет собой разность двух бесконечно больших величин. Выполнив вычитание дробей, получим дробь, числитель и знаменатель которой при стремится к нулю. Сократив дробь на , находим

¢

4.1. 4.2.

4.3. 4.4. 4.5.

£ 4.1. Первые три слагаемых при пределов не имеют, поэтому следствием 3 непосредственно воспользоваться нельзя. Вынося за скобки, получим

(при величины бесконечно малые и их пределы равны нулю).

При знаменатель неограниченно растет, т.е. является величиной бесконечно большой, а обратная величина бесконечно малой. Произведение бесконечно малой на ограниченную величину (постоянная – частный случай ограниченной величины) есть величина бесконечно малая, и предел ее при равен нулю. Следовательно,

4.3. При числитель и знаменатель – величины бесконечно большие. Поэтому при непосредственном применении теоремы 3 получаем выражение , которое представляет собой неопределенность. Для вычисления предела этой функции нужно числитель и знаменатель разделить на :

(при слагаемые величины бесконечно малые и, следовательно, их пределы равны нулю).

4.4. Разделим числитель и знаменатель на наивысшую степень аргумента в знаменателе, т.е. на :

При имеем и

Так как знаменатель есть величина ограниченная, то

4.5. При данная функция представляет собой разность двух бесконечно больших величин . Умножив и разделив функцию на выражение , получим

¢