Предел функции
23
МАТЕМАТИКА
(избранные главы)
для специальности
40.02.01 Право и организация социального обеспечения
Мурманск
Предел функции
Вопросы к теме
1. Понятие предела функции. Свойства бесконечно больших и бесконечно малых функций. Теоремы о пределах.
2. Вычисления предела с неопределённостями типа .
Краткие теоретические сведения
Число А называется пределом функции при
, если для любого
можно указать такое
, что для любого
, удовлетворяющего неравенству
, выполняется неравенство
.
В этом случае пишут .
Функция называется бесконечно малой при
, если
Функция называется бесконечно большой при
, если
Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций:
10. Если и
- бесконечно малые при
, то их сумма
при
также является бесконечно малой.
20. Если бесконечно малая функция при
, а
ограниченная функция, то их произведение
есть функция бесконечно малая.
30. Если при функция
имеет конечный предел, а функция
- бесконечно большая, то
40. Если - бесконечно малая функция при
, то функция
бесконечно большая и наоборот.
Теоремы о пределах:
Теорема 1. Если существуют пределы и
при
, то существует также и предел их суммы, равный сумме пределов функций
и
.
Теорема 2. Если существуют пределы и
при
, то существует также и предел их произведения, равный произведению пределов функций
и
.
Теорема 3. Если существуют пределы и
при
и
то существует также и предел отношения, равный отношению пределов функций
и
.
.
Следствие 1. Постоянный множитель можно вынести за знак предела:
Следствие 2. Если , то
Следствие 3. при
равен значению этого многочлена при
, т.е.
Следствие 4. Предел дробно-рациональной функции
при равен значению этой функции при
, если
принадлежит области определения функции, т.е.
Рассмотрим некоторые примеры.
Вычислить пределы:
1.1. 1.2.
.
£ 1.1. По правилу нахождения предела многочлена находим
1.2.Так как при знаменатель дроби отличен от нуля, то по правилу нахождения предела дробно-рациональной функции получим
¢
2.1. 2.2.
2.3.
£ 2.1. Здесь предел делителя равен нулю: . Следовательно, теорему о пределе частного применить нельзя. Так как
, то
при
есть величина бесконечно малая, а обратная ей величина
– бесконечно большая. Поэтому при
произведение
есть величина бесконечно большая, т.е.
2.2.
Здесь пределы числителя при

Разложим числитель и знаменатель на множители, чтобы сократить дробь на общий множитель, стремящийся к нулю, и, следовательно, сделать возможным применение теоремы 3. Нужно иметь в виду, что здесь не производится сокращение на нуль, что недопустимо. По определению предела функции аргумент стремится к своему предельному значению, никогда не принимая этого значения; поэтому до перехода к пределу можно произвести сокращение на множитель, стремящийся к нулю. Имеем
2.3. Пределы числителя и знаменателя при равны нулю:
Разложим квадратный трехчлен в числители на линейные множители по формуле
где
и
– корни трехчлена. Разложив на множители знаменатель, сократим дробь на
Используя следствие 4, получим
¢
3.1. 3.2.
£ 3.1. Пределы числителя и знаменателя при равны нулю. Умножив числитель и знаменатель на сопряженный знаменателю множитель
и затем сократив дробь на
, получим
3.2. Очевидно, что при функция представляет собой разность двух бесконечно больших величин. Выполнив вычитание дробей, получим дробь, числитель и знаменатель которой при
стремится к нулю. Сократив дробь на
, находим
¢
4.1. 4.2.

4.3. 4.4.
4.5.
£ 4.1. Первые три слагаемых при пределов не имеют, поэтому следствием 3 непосредственно воспользоваться нельзя. Вынося
за скобки, получим
(при величины
бесконечно малые и их пределы равны нулю).
При знаменатель
неограниченно растет, т.е. является величиной бесконечно большой, а обратная величина
бесконечно малой. Произведение
бесконечно малой на ограниченную величину (постоянная – частный случай ограниченной величины) есть величина бесконечно малая, и предел ее при
равен нулю. Следовательно,
4.3. При числитель и знаменатель – величины бесконечно большие. Поэтому при непосредственном применении теоремы 3 получаем выражение
, которое представляет собой неопределенность. Для вычисления предела этой функции нужно числитель и знаменатель разделить на
:
(при
слагаемые
величины бесконечно малые и, следовательно, их пределы равны нулю).
4.4. Разделим числитель и знаменатель на наивысшую степень аргумента в знаменателе, т.е. на :
При имеем
и
Так как знаменатель есть величина ограниченная, то
4.5. При данная функция представляет собой разность двух бесконечно больших величин
. Умножив и разделив функцию на выражение
, получим
¢