Всего на сайте:
210 тыс. 306 статей

Главная | Статистика

Состоятельные несмещенные оценки для математического ожидания, дисперсии, ковариации  Просмотрен 310

 

Пусть с испытанием связана случайная величина с неизвестными числовыми характеристиками (а, D) и пусть набрана независимая выборка (40).

В дальнейшем будем употреблять следующий удобный термин: любую функцию от выборки (40) будем называть статистикой.

Лемма 1. Статистика

 

(42)

 

является состоятельной несмещенной оценкой математического ожидания а.

Доказательство. 1. Мы знаем, что элементы выборки (40) являются независимыми случайными величинами с одним и тем же законом распределения, совпадающим с законом распределения случайной величины , а значит, имеют те же числовые характеристики (а, D).

По теореме Чебышева среднее арифметическое независимых случайных величин с одинаковыми параметрами (а, D), при неограниченном возрастании числа слагаемых сходится по вероятности к общему математическому ожиданию

что и означает состоятельность оценки.

2. Имеем

 

Это означает несмещенность оценки .

 

Лемма 2.Статистика

(43)

 

является состоятельной несмещенной оценкой дисперсии D. Доказывается аналогично лемме 1.

 

Замечание 1. Если в формуле (43) заменить (n - 1) на n , то оценка останется состоятельной, но будет смещенной. Величина S2 называется исправленной дисперсией.

Замечание 2. Из леммы 2 следует, что статистика:

 

является состоятельной оценкой для СКО ). Можно доказать, что , т.е. оценка S является смещенной оценкой для .

Пусть по данным опыта получим ряд значений случайной точки ( ) (выборка):

1, у1) (х2, у2), …, (хn, уn).

Справедлива следующая

Лемма 3.Состоятельной несмещенной оценкой для cov( ) является выборочная ковариация

где

Предыдущая статья:Выборочные оценки параметров случайной величины. Основные требования к оценкам Следующая статья:Два распределения, связанные с нормальным законом
page speed (0.0805 sec, direct)