Всего на сайте:
148 тыс. 196 статей

Главная | Информатика

Функции одной переменной  Просмотрен 69

Экстремальные задачи

Конечномерные задачи без ограничений

В этом параграфе даются необходимые и достаточные условия экстремума функций одной и нескольких переменных.

Постановка задачи

Пусть /: R" -+ R — функция п действительных переменных, обла­дающая некоторой гладкостью. Под гладкостью мы понимаем определен­ную дифференцируем ость функции. Если функция / дифференцируема к раз в точке х, мы пишем / G Dk(x). Гладкой конечномерной экстре­мальной задачей без ограничений называется следующая задача:

f(x) -» extr.

При решении задачи надо найти не только абсолютные (глобальные) экстремумы (минимумы и максимумы) функции, но и локальные экс­тремумы.

Точка х является точкой локального минимума (максимума) функ­ции /, если существует окрестность U£ — {х \ \х х\ < е} точки х такая, что f(x) > f(x) (f{x) ^ /(&)) для любой точки х из этой окрестности. При этом мы пишем х 6 locmin/ (x G locmax/), а если речь идет о минимуме или максимуме, то пишем х € tocextr/.

Необходимые и достаточные условия экстремума

Функции одной переменной

Теорема1 (Ферма). Пусть /: R —* R — функция одного действи­тельного переменного. Если х 6 locextr / — точка локального экстремума \ функции / и / £ D(x) дифференцируема в точке х, то

/'(*) = 0.

Доказательство. По определению дифференцируемое™ f(x + h) = f{x) + f'(x)h + r(h), r(h) = o(h) = o(\)h при малых h. Значит, f(x + h)-f(x) = (f{x) + o(\))h.

Если бы f'(x) ф 0, то при h достаточно близких к нулю, величина
/'(ж) + о(1) имела бы знак /'(£), поскольку о(1) —* 0 при h —► 0.
Само же h может принимать как положительные, так и отрицательные
значения. Следовательно, разность f(x + h) - f(x) может быть как
меньше, так и больше нуля, Это противоречит тому, что f(£+h)-f(£) ^ 0
при х £ locrnin/ и f{x + h) - f(x) ^ 0 при х £ locraax/. n

Геометрически теорема Ферма утверждает, что в точхе экстремума дифференцируемой функции касательная к ее графику горизонтальна.

Теорема 2.

Пусть функция f D2(x) дважды дифференцируема в точке х.

Необходимые условия экстремума: если х £ locmin / — точка локаль­ного минимума функции /, то

/*(*) = <>, /"(£)£ 0. Достаточные условия экстремума: если

f'(x) = Q, Л*)>°>

то х £ locmin / — точка локального минимума функции /.

Доказательство.По формуле Тейлора

f(x + h) = /(4) + /'(4)fc + i/"(^)fe2 + r(fc), r(b) - o(fe2).

Необходимость. Пусть ж £ locmin/. Тогда, во-первых, по необходг-мому условию экстремума I порядка для функций одной переменной — теореме Ферма — f'(x) — 0, во-вторых, f(x + h) ~ f{x) ^ 0 при достаточно малых h. Поэтому в силу формулы Тейлора

/(* + k) - f(x) = l-f"(&)h2 + r(h) > 0 (r(h) = o(h2))

при малых h. Разделим обе части последнего неравенства на ft. и устре-

r(h)
мим h к нулю. Поскольку —г * 0, то получим, что f"{x) > 0.

Достаточность. Пусть f'{x) = 0, f"(x) > 0. Тогда по формуле Тейлора в силу условия r(h) o(h2) •& \r(h)\ < г/1.2 =s- r(/i) ^ -eft.2 для любого £ > 0 при достаточно малых Л имеем:

/(4 + h) - f{x) - \f'№h7 + KM > (^ - e) Ъ? > 0

при е ^ ^^^- Следовательно, х £ locmin/. к

Для локального максимума неравенства имеют противоположный вид: f"(x) ^ 0 и f"(x) < О соответственно.

В одномерном случае можно дать почти исчерпывающий ответ на вопрос о том, является ли данная точка х локальным экстремумом или нет.

Теорема3.

Пусть функция / € Dn(x) n раз дифференцируема в точке х.

Необходимые условия экстремума:если х£ locmin (max) / — точка локального минимума {максимума) функции /, то либо f'(x) = ... = /(п)(ж) = 0, лнбо

f'(x) =....= f{2m-l)(x) - 0, f{2m){x) > 0 (f{2m){x) < 0) (1)

при некотором то: 2 ^ ^ п.

Достаточные условия экстремума:если выполняется условие ()), то & € locmin (max)/ — точка локального минимума (максимума) функции /.

Доказательство. Пусть для определенности & G locmin /. По фор­муле Тейлора

/<*+*) = ЕиЕГ^ + гф), r(h)^o(hn) (^-0 при/^0).

Необходимость при п — 1 следует из теоремы Ферма. Пусть далее п> 1. Тогда либо /'(ж) =..."- f{n){x) = 0, либо /'(*) = ■■■ = fQ-l>(&) = 0, f\x) £Q,l£n. Значит,

/(*+/i) - /о*) - х; Ч- л + r(ft) = 1- h + ri(/t)i ri(ft)=o{h)-

Поскольку * G locmin/, то /(£ + ft) - f(x) = fe +r,(/i) > 0 при

I/ -

достаточно малых по модулю h. Так как /*'*(&) ^ 0, то отсюда следует, что I — четно и f^(x) > 0.

Дос/тшточиоош, Пусть /'(£) - ... - /^"^(А) = 0, f2m{x) ф 0. Тогда по формуле Тейлора

Поскольку /(2m)(£) > 0, то /(А + Л) - /(*) > 0 при достаточно малых К,Ш
т.е. же locmin/. <

 

§ 1. Конечномерные задачи без ограничений 11

Предыдущая статья:Забор пергон своими руками Следующая статья:Функции нескольких переменных
page speed (0.0229 sec, direct)