Всего на сайте:
210 тыс. 306 статей

Главная | Электроника

Инерционное звено второго порядка  Просмотрен 484

Дифференциальное уравнение звена

d 2 xвых d xвых

T2 2 + Т1 + хвых = к хвх .

dt2 dt

Уравнение динамики в операционной форме

22 р2 + Т1 р + 1 ) Хвых (р) = к Хвх (р).

Передаточная функция

Xвых (р) к

W(p) = = .

Хвх (р) Т22 р2 + Т1 р + 1

Корни характеристического уравнения

  
 


Т1 Т21 – 4 Т22

Р1, 2 = - ± .

2 222

Общее решение дифференциального уравнения, определяющее свободное движение, имеет вид

хвых (t) = С1 exp ( - p1t) + C2 exp (-p2t).

Характер переходного процесса зависит от вида корней, которые могут быть действительными или комплексными.

При Т1 > 2T2 – корни вещественные, отрицательные, разные. Переходная функция звена h(t) имеет монотонный, апериодический характер, а звено называется апериодическое звено второго порядка. При указанном условии знаменатель передаточной функции можно разложить на два сомножителя и представить передаточную функцию в виде

к

W(p) = ,

3р + 1) (Т4р + 1 )

где Т3, 4 = 0,5 (Т1 ± sqrt (Т12 – 4Т22).

Следовательно, звено можно рассматривать как последовательное соединение двух апериодических звеньев первого порядка, частотные характеристики которого представлены на рис. 4.3.

 

 

Рис. 4.3

При Т1 = 2Т2 – корни равные, кратные, а переходный процесс монотонный.

 

При Т1 < 2Т2 – корни комплексные, сопряжённые

р1, 2 = α ± jω, α = T1 /(2T2 2) – коэффициент (декремент) затухания,

ω = sqrt(4T22 – T12) / (2T22) – угловая частота затухающих колебаний. Решение

содержит гармонические составляющие и звено называют колебательным звеном второго порядка с передаточной функцией

к

W(p) = ,

Т2 р2 + 2xр + 1

где Т = Т2 , x = aТ – коэффициент затухания.

Переходная функция звена

h(t) = к [1 - exp(- ξt / T) sin (ωt + φ)] 1(t),

ω Т

где ω = sqrt(1 - ξ2)/T , φ = arctg (ωT/ξ) = arctg (w/a) = arcsin (wt) = arccos (x),

0 ≤ ξ ≤ 1.

Свободная составляющая переходной функции (рис. 4.4) представляет собой синусоиду, амплитуда которой убывает по экспоненте (пунктирная линия). Период затухающих колебаний равен

Тз = 2p /w = 2pТ/sqrt(1 - x 2 ).

Степень затухания колебательных переходных процессов принято оценивать степенью затухания

f = (А1 – А3)/А1,

представляющей собой отношение разности двух соседних амплитуд к первой из них.

Если в выражение для переходной функции два значения t, отличающиеся на период затухающих колебаний Тз, то получим

f = 1 – ехр(-2p / w) = 1 ехр(-2p / m),

где m = w / a - степень колебательности.

АФЧХ колебательного звена (рис. 3.4) описывается уравнением

к

W(jw) = ,

Т2 (jw)2 + 2xТjw + 1

амплитудная частотная характеристика

к

А(w) = ,

sqrt [(1 – T2w2) 2 + 4x 2T2w2]

 

и фазовая частотная характеристика

j(w) = -arctg [2 xTw/(1-T2w2).

Амплитудная частотная характеристика на частоте wmax имеет резонансный пик , равный

Аmax = А(wmax) = к/ [ 2x sqrt( 1 - x 2)].

 

 

 

Рис.4.4

Резонансный пик существует, если x < 0,707. Чем меньше x , тем ближе резонансная частота wmax к собственной частоте незатухающих колебаний w0 и тем больше резонансный пик. Колебательное звено, как и все инерционные звенья, хорошо пропускает сигналы низкой частоты и плохо – сигналы высокой частоты.

Таким образом, вид переходной функции определяется только относи- тельным коэффициентом демпфирования. Из всех переходных процессов для различных ξ оптимальным процесс при ξ = 0,5 sqrt 2. Он имеет наименьшее время регулирования tр ≈ 3Т, минимальное перерегулирование s, не превыша- ющее 0,05кА, где А – амплитуда ступенчатого входного воздействия и удовлетворяет критерию минимума среднеквадратического отклонения.

Если Т1 = 0, то корни чисто мнимые и при подаче на вход ступенчатого воздействия возникают незатухающие колебания с частотой w0 = 1/T. Звено называется идеальным колебательным или консервативным.

Предыдущая статья:Инерционное звено первого порядка Следующая статья:Интегрирующее звено
page speed (0.0101 sec, direct)