Всего на сайте:
119 тыс. 927 статей

Главная | Метрология, Стандартизация и Сертификация

Классическое нормальное распределение  Просмотрен 37

Лекция 6

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАРАБОТКИ ДО ОТКАЗА

Классическое нормальное распределение

 

Нормальное распределение или распределение Гаусса является наиболее универсальным, удобным и широко применяемым.

Считается, что наработка подчинена нормальному распределению (нормально распределена), если плотность распределения отказов (ПРО) описывается выражением:

 

(1)

 

где a и b – параметры распределения, соответственно, МО и СКО, которые по результатам испытаний принимаются:

 

 

где 0 , - оценки средней наработки и дисперсии.

Графики изменения показателей безотказности при нормальном распределении приведены на рис. 1.

Выясним смысл параметров Т0 и S нормального распределения. Из графика f(t) видно, чтоТ0 является центром симметрии распределения, поскольку при изменении знака разности (t - T0) выражение (1) не меняется. При t = Т0 ПРО достигает своего максимума

 

 

 

Рис. 1

 

При сдвиге Т0 влево/вправо по оси абсцисс, кривая f(t) смещается в ту же сторону, не изменяя своей формы. Таким образом, Т0 является центром рассеивания случайной величины T, т. е. МО.

Параметр S характеризует форму кривой f(t), т. е. рассеивание случайной величины T. Кривая ПРО f(t) тем выше и острее, чем меньше S.

Изменение графиков P(t) и (t) при различных СКО наработок (S1 < S2 < S3) и Т0 = const приведено на рис. 2.

 

 

Рис. 2

 

Используя полученные ранее (лекции 3, 4) соотношения между показателями надежности, можно было бы записать выражения для P(t); Q(t) и (t) по известному выражению (1) для f(t). Не надо обладать богатой фантазией, чтобы представить громоздкость этих интегральных выражений, поэтому для практического расчета показателей надежности вычисление интегралов заменим использованием таблиц.

С этой целью перейдем от случайной величины T к некоей случайной величине

 

(2)

 

распределенной нормально с параметрами, соответственно, МО и СКО M{X} = 0 и S{X} = 1 и плотностью распределения

 

(3)

 

Выражение (3) описывает плотность так называемого нормированного нормального распределения (рис. 3).

 

 

Рис. 3

 

Функция распределения случайной величины X запишется

 

(4)

 

а из симметрии кривой f(x) относительно МО M{X} = 0, следует, что f(-x) = f(x), откуда F(-x) = 1 - F(x) .

В справочной литературе приведены расчетные значения функций f(x) и F(x) для различных x = (t - Т0)/S.

Показатели безотказности объекта через табличные значения f(x) и F(x) определяются по выражениям:

 

  f(t) = f(x)/S; (5)
  Q(t) = F(x); (6)
  P(t) = 1 - F(x); (7)
  (t) = f(x)/S(1 - F(x)). (8)

 

В практических расчетах часто вместо функции F(x) пользуются функцией Лапласа, представляющей распределение положительных значений случайной величины X в виде:

 

(9)

 

Очевидно, что F(x) связана с (x) следующим образом:

 

(10)

 

Как и всякая функция распределения, функция (x) обладает свойствами:

 

(x)(- ) = -0,5; (x)( ) = 0,5; (x)(-x) = - (x) .

 

В литературе могут встретиться и другие выражения для (x), поэтому, какой записью (x) пользоваться – это дело вкуса.

Показатели надежности объекта можно определить через (x), используя выражения (5) – (8) и (10):

 

  Q(t) = 0,5 + (x) ; (11)
  P(t) = 0,5 - (x) ; (12)
  (t) = f(x)/S(0,5 - (x)) . (13)

 

Чаще всего при оценке надежности объекта приходится решать прямую задачу – при заданных параметрах Т0 и S нормально распределенной наработки до отказа определяется тот или иной показатель безотказности (например, ВБР) к интересующему значению наработки t.

Но в ходе проектных работ приходится решать и обратную задачу – определение наработки, требуемой по техническому заданию, ВБР объекта.

Для решения подобных задач используют квантили нормированного нормального распределения.

Квантиль – значение случайной величины, соответствующее заданной вероятности.

Обозначим:

tp– значение наработки, соответствующее ВБР P;

xp – значение случайной величины X, соответствующее вероятности P.

Тогда из уравнения связи x и t:

 

 

при x = xp ; t = tp, получаем

 

tp= Т0 + xp S.

 

tp, xp – ненормированные и нормированные квантили нормального распределения, соответствующие вероятности P.

Значения квантилей xp приводятся в справочной литературе для P 0,5.

При заданной вероятности P < 0,5 используется соотношение

 

xp = - x1-p .

Например, при P = 0,3

x0,3 = - x1- 0,3 = - x0, 7

 

Вероятность попадания случайной величины наработки T в заданный интервал [t1, t2] наработки определяется:

 

(14)

 

где x1 = (t1 - Т0)/S , x2 = (t2 - Т0)/S .

Отметим, что наработка до отказа всегда положительна, а кривая ПРО f(t), в общем случае, начинается от t = - и распространяется до t = .

Это не является существенным недостатком, если Т0 >> S, поскольку по (14) нетрудно подсчитать, что вероятность попадания случайной величины T в интервал P{Т0 - 3S < T < Т0 + 3S} 1,0 с точностью до 1%. А это означает, что все возможные значения (с погрешностью не выше 1%) нормально распределенной случайной величины с соотношением характеристик Т0 > 3S, находятся на участке Т0 ± 3S.

При большем разбросе значений случайной величины T область возможных значений ограничивается слева (0, ) и используется усеченное нормальное распределение.

 

Предыдущая статья:Алгоритм обработки результатов и расчета показателей надежности Следующая статья:Усеченное нормальное распределение
page speed (0.0187 sec, direct)