Всего на сайте:
210 тыс. 306 статей

Главная | Математика

Преобразование координат  Просмотрен 1047

 

Преобразование декартовых прямоугольных координат при параллельном сдвиге осей определяется формулами

х = х'+ а, у=у'+ b.

Здесь х, у суть координаты произвольной точки М плоскости относительно старых осей, х', у' — координаты той же точки относительно новых осей, а, b — координаты нового начала О' относительно старых осей (говорят также, что а есть величина сдвига в направлении оси абсцисс, b — величина сдвига в направлении оси ординат).

Преобразование декартовых прямоугольных координат при повороте осей на угол a (который надо понимать, как в тригонометрии) определяется формулами

x = х' cos a — y sin a,

у = x' sin a — у' cos a.

Здесь х, у суть координаты произвольной точки М плоскости относительно старых осей, х’, у’ — координаты той же точки относительно новых осей. Формулы

x = х' cos a — y sin a + а,

у = х' sin a+ y cos a+ b

определяют преобразование координат при параллельном сдвиге системы осей на величину а в направлении Ох, на величину b в направлении Оу и последующем повороте осей на угол a. Все указанные формулы соответствуют преобразованию координат при неизменном масштабе. Неизменность масштаба предполагается также в нижеприводимых задачах.

127.Написать формулы преобразования координат, если начало координат (без изменения направления осей) перенесено в точку: 1) А(3; 4); 2) В(-2; 1); 3) С(— 3; 5).

128.Начало координат перенесено (без изменения направления осей) в точку О' (3; —4). Координаты точек А(1, 3), В( — 3; 0) и С( — 1; 4) определены в новой системе. Вычислить координаты этих же точек в старой системе координат.

129.Даны точки А (2; 1), В(— 1; 3) и С(— 2; 5). Найти их координаты в новой системе, если начало координат перенесено (без изменения направления осей): 1) в точку А; 2) в точку В; 3) в точку С.

130.Определить старые координаты начала О' новой системы, если формулы преобразования координат заданы следующими ра­венствами:

1) x = x'+3, у = у' + 5; 2) х = x '— 2, у = у' + 1;

3) х = x', у = у' — 1; 4) х = х' — 5, у = у'.

131.Написать формулы преобразования координат, если оси координат повёрнуты на один из следующих углов:

1) 60°; 2) —45°; 3) 90°; 4) —90°; 5) 180°.

132.Оси координат повёрнуты на угол а = 60°. Координаты точек А (2/3; —4), Б(/3; 0) и С(0; —2/3) определены в но­вой системе. Вычислить координаты этих же точек в старой си­стеме координат.

133.Даны точки М(3; 1), N(—1; 5) и Р(— 3; —I). Найти их координаты в новой системе, если оси координат повёрнуты на угол:

1) —45°; 2) 90°; 3) —90°; .4) 180°.

134.Определить угол а, на который повёрнуты оси, если фор­мулы преобразования координат заданы следующими равенствами:

1) x = , y = ;

2) x = , y = ;

 

135.Определить координаты точки О' нового начала координат, если точка A(3; —4) лежит на новой оси абсцисс, а точка В(2; 3) лежит на новой оси ординат, причем оси старой и новой систем координат имеют соответственно одинаковые направления.

136.Написать формулы преобразования координат, если точка M1(1; —3) лежит на новой оси абсцисс, а точка M2(l; —7) ле­жит на новой оси ординат, причём оси старой и новой систем коор­динат имеют соответственно одинаковые направления.

137.Две системы координатных осей Ох, Оу и Ох’, Оу’ имеют общее начало О и преобразуются одна в другую поворотом на не­который угол. Координаты точки А(3; — 4) определены относи­тельно первой из них. Вывести формулы преобразования координат, зная, что положительное направление оси Ох определено отрез­ком ОА.

138.Начало координат перенесено в точку O’(—1; 2), оси коор­динат повёрнуты на угол a = arctg .

Координаты точек М1 (3; 2), М2(2; —3) и M3(13; —13) определены в новой системе. Вычислить координаты этих же точек в старой системе координат.

139.Даны три точки: А (5; 5), В(2; —1) и С(12; —6). Найти их координаты в новой системе, если начало координат перенесено в точку В, аоси координат повёрнуты на угол a = arctg .

140.Определить старые координаты нового начала и угол a, на который повёрнуты оси, если формулы преобразования координат заданы следующими равенствами:

1) x = у’ + 3, y = x’ — 2; 2) х = — x’ — 1, у = —y’ + 3;

3) x = y =— .

141.Даны две точки: М1(9; —3) и М2(—6; 5). Начало коор­динат перенесено в точку Мь а оси координат повёрнуты так, что положительное направление новой оси абсцисс совпадает с направлением отрезка М1М2. Вывести формулы преобразования ко­ординат.

142.Полярная ось полярной системы координат параллельна оси абсцисс декартовой прямоугольной системы и направлена одина­ково с нею. Даны декартовы прямоугольные координаты полюса О(1; 2) и полярные координаты точек M1(7; ), М2(3; 0), М3(5; — ), М4(2; M5(2; — ). Определить координаты этих точек в декартовой прямоугольной системе.

143.Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось направлена по биссектрисе первого координатного угла. Даны полярные коор­динаты точек M1(5; ), М2(3; — ), М3(1; ), М4(6; M5(2; — ).

Определить декартовы прямоугольные координаты этих точек.

144.Полярная ось полярной системы координат параллельна оси абсцисс декартовой прямоугольной системы и одинаково с нею направлена. Даны декартовы прямоугольные координаты полюса О(3; 2)_и точек М1(5; 2), М2(3; 1), М3(3; 5), М4 (3+ ; 2— ) и М5 (3+ ; 3). Определить полярные коор­динаты этих точек.

145. Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, полярная ось направлена по биссектрисе первого координатного угла. Даны декартовы прямо­угольные координаты точек М1(—1;1), М2( ;— M3(1; ), М4(— ; 1) и М5(2 ; —2). Определить полярные координаты этих точек.

Предыдущая статья:Площадь треугольника Следующая статья:Функция двух переменных
page speed (0.0797 sec, direct)