Некоторые приложения смешанного произведения
640
· Определение взаимной ориентации векторов в пространстве
Если , то
,
и
образуют правую тройку векторов; если
, то
,
и
образуют левую тройку векторов.
· Установление компланарности векторов
Векторы ,
,
компланарны тогда и только тогда, когда
.
· Определение объемов параллелепипеда и треугольной пирамиды. Объём параллелепипеда, построенного на векторах ,
и
,равен
, треугольной пирамиды -
.
Пример П.7.Найти объем треугольной пирамиды с вершинами ,
,
,
.
Найдем векторы ,
и
, совпадающие с ребрами пирамиды, сходящимися в вершине А:
,
,
.
Находим смешанное произведение этих векторов:
.
Значит (куб. ед.).