Всего на сайте:
236 тыс. 713 статей

Главная | Физика

Кинематика материальной точки  Просмотрен 753

Положение материальной точки в выбранной системе координат определяется радиус-вектором . Вектор можно разложить на его составляющие по осям координат

, (1.1)

где - единичные вектора, направленные вдоль коорди- натных осей; x, y, z – координаты точки (рис.1.1).

При движении материальной точки по произвольной траектории ее положение описывается векторным кинемати- ческим уравнением движения

=¦(t),

либо тремя скалярными кинематическими уравнениями

x = f(t), y = f(t), z = f(t).

Если за некоторый промежуток времени Dt = t2 - t1 точка переместилась из положения 1, определяемого радиуc-векто- ром , в положение 2, определяемое радиус-вектором , то вектор называется вектором перемещенияи характеризует изменение пространственного положения точки за данный промежуток времени. Длина траектории DS, заключенная между точками 1 и 2, представляет собой путь, пройденный за тот же промежуток времени Dt .

Для характеристики быстроты и направления движения материальной точки вводят понятие скорости. Вектор средней скорости представляет собой вектор перемещения за единицу времени

< > = (1.2)

  
 

 

 


 

 

Рис.1.1

 

Вектор мгновенной скорости определяется первой производной радиус-вектора по времени

= = = . (1.3)

Направление вектора скорости совпадает с направлением касательной к траектории движения в данной точке.

Разложение вектора в декартовой системе координат имеет вид:

. (1.4)

При этом, проекции скорости точки на оси координат равны первым производным по времени от соответствующих

координат

; ; , (1.5)

а модуль вектора скорости равен

. (1.6)

Модуль вектора скорости может быть также определен через производную пути по времени

u =ú ú = = = . (1.7)

Если известен вид функции u (t) , то путь, пройденный точкой за определенный промежуток времени, определяется интегрированием

S = . (1.8)

На графике зависимости скорости от времени u = f (t) он выражается площадью заштрихованной фигуры (рис.1.2).

Быстроту изменения скорости материальной точки в пространстве характеризует вектор ускорения:

= = = . (1.9)

Ускорение, таким образом, есть первая производная вектора скорости по времени, или вторая производная радиус - вектора по времени.

Проекция ускорения на оси координат равны производ- ным по времени от соответствующих проекций скорости или вторым производным по времени от соответствующих координат точки:

, , (1.10)

В общем случае, направление вектора составляет некоторый угол a с направлением скорости , поэтому вектор можно разложить на две взаимно перпендикулярные составляющие (рис.1.3).

. (1.11)

 

 

Рис.1.2 Рис.1.3

Вектор совпадает с направлением нормали в данной точке траектории и называется нормальным (центростреми- тельным) ускорением.

Нормальное ускорение характеризует изменение векто- ра скорости только по направлению. Его величина равна

= , (1.12)

где R – радиус кривизны траектории в данной точке.

Вектор - тангенциальное (касательное) ускорение, характеризующее изменение скорости по величине. Значение тангенциального ускорения определяется выражением

= . (1.13)

Уравнения скорости и пути для прямолинейного равно- переменного движения (равноускоренного и равнозамедлен- ного) в проекции на координатную ось имеют следующий вид:

, (1.14)

. (1.15)

Приведём в качестве примера кинематические уравне- ния движения тела, брошенного под углом к горизонту (рис.1.4).

 


Рис.1.4

;

;

;

.

Решение данной системы уравнений позволяет определить время полёта, максимальную высоту подъёма и дальность полёта:

;

;

.

1.2.Кинематика поступательного и вращательного движения абсолютно твёрдого тела

Поступательным движениемабсолютно твердого тела называется такое движение, при котором любая прямая, проведенная в теле, сохраняет неизменным направление в пространстве, т.е. перемещается параллельно самой себе (рис.1.5). По форме траектории поступательное движение может быть как прямолинейным, так и криволинейным.

При поступательном движении все точки абсолютно твердого тела за один и тот же промежуток времени соверша- ют одинаковые перемещения, скорости и ускорения всех точек тела одинаковы. Поэтому, чтобы описать поступательное движение абсолютно твердого тела, достаточно определить движение одной из его точек М, например,центра масс.

При вращательном движении твердого тела все его точки движутся по окружности, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения (рис.1.6). При этом радиус-векторы, проведенные из центров соответствующих окружностей к точкам тела за равные промежутки времени, поворачиваются на один и тот же угол. Угол поворота Dj любого из радиуc-векторов определяет угловой путь, пройден- ный телом за данный промежуток времени Dt. Очень малые углы поворота можно рассматривать как векторы , совпадающие с осью, направление которых связано с направле- нием вращения тела правилом правого винта. Такие векторы называются аксиальными.

Быстроту изменения углового перемещения с течением времени определяет угловая скорость

= . (1.16)

Угловая скорость является аксиальным вектором, кото- рый направлен вдоль оси вращения в соответствии с правилом правого винта.

Быстроту изменения угловой скорости характеризует вектор углового ускорения

= = . (1.17)

Направление вектора либо совпадает с направлением угловой скорости (при ускоренном вращении >0) либо противоположно ему (при замедленном вращении <0).

М
M

 

 
 
Рис.1.5


Рис.1.6

 

Угловой путь, угловая скорость и угловое ускорение при равноускоренном вращении связаны между собой формулами, аналогичными формулам равноускоренного прямолинейного движения

, (1.18)

, (1.19)

где w0 – начальная угловая скорость.

Кроме угловых характеристик, движение каждой точки вращающегося тела характеризуют линейные величины u, a, an, at (рис.1.7).

Между угловыми и линейными характеристиками движения существуют следующие соотношения:

u = w R, at = e R, an = w 2 R = , (1.20)

Рис.1.7

Предыдущая статья:Методические указания Студенту заочнику Следующая статья:Примеры решения задач по кинематике
page speed (0.1096 sec, direct)