Всего на сайте:
148 тыс. 196 статей

Главная | Математика

Уравнение проекций сил на ось Х имеет вид. (Момент силы относительно точки).  Просмотрен 724

  1. Момент силы относительно точки
  2. Равновесие твёрдых тел под действием ПСПРС. (Момент силы относительно точки).
  3. Последовательность действий при решении задач на равновесие плоской системы произвольно расположенных сил. (Момент силы относительно точки).
  4. Статически определимые и статически неопределимые задачи. (Момент силы относительно точки).
  5. Определение усилий в стержнях по способу Риттера. (Момент силы относительно точки).
  6. Примеры. (Момент силы относительно точки).
  7. Решение.. (Момент силы относительно точки).
  8. Решение. Составная балка АВС находится в равновесии, следовательно, балки АВ и ВС также находятся в равновесии.. (Момент силы относительно точки).
  9. Задачи к заданиям. (Момент силы относительно точки).
  10. Гиперболические функции, и их производные.
  11. Расстояния в графе
  12. Свойства векторного произведения

; (3.24)

Силы F и RAY не вошли в уравнение, так как они перпендикулярны оси Х и их проекции на эту ось равны нулю.

Проекции силы на ось Y:

 

(3.25)

 

реакция RAX перпендикулярна оси Y, и ее проекция на эту ось равна нулю.

Для составления уравнения моментов за центр моментов принимаем точку А. Плечо силы RB равно длине перпендикуляра, восстановленного из точки А (центра моментов) к линии действия силы RB. Из рис. 3.48, б видно, что AD = (a + b) cos60°.

 

(3.26)

 

Подставив числовые значения, получим

 

Н.

 

Выразим из (3.25)

 

.

 

Подставив значения сил, получим

 

Н.

 

Из (3.24)

 

 

Проверим правильность решения задачи, составив уравнения моментов относительно точки В:

 

Подставим числовые значения:

 

 

Задача решена верно, так как при подстановке получили тождество 0 = 0.

Полная реакция опоры :

;

Н.

 

Ответ: Н; Н.

 

Пример 85. Для балки (рис. 3.49, а) определить опорные реакции по следующим данным: м, м, м, кН, кН, кН/м, кН×м.

 

Рис. 3.49. К примеру 85

 

Решение. Освободим балку от связей, отбросив опоры и приложив вместо них неизвестные реакции (рис. 3.49, б). Напомним, что для плоской системы параллельных сил достаточно двух уравнений равновесия:

; .

 

Уравнение моментов относительно точки А

 

;

(3.27)

 

Уравнение моментов относительно точки B

 

;

(3.28)

.

 

Из уравнения (3.27)

 

кН.

 

Из уравнения (3.28)

 

кН.

Значение реакции RB получено со знаком «минус». Это означает, что она направлена вертикально вниз.

Для проверки правильности найденных реакций опор балки составляем уравнение

 

;

или

.

 

Следовательно, RA и RB определены верно.

 

Ответ: кН; кН.

 

Пример 86. Для жестко заделанной консольной балки (рис. 3.50) найти реактивный момент и составляющие реакции заделки.

Принять кН, кН/м, кН×м, м.

 

 

Рис. 3.50. К примеру 86

 

Решение. Освободим балку от связи, условно отбросив заделку и приложив вместо нее к балке две неизвестные составляющие силы реакции RAX, RAY и реактивный момент MА. Для плоской системы произвольно расположенных сил составим три уравнения равновесия - два уравнения проекций и уравнение моментов относительно точки А:

 

(3.29)

 

(3.30)

 

(3.31)

 

Из уравнения (3.29) получим:

 

кН.

 

Из уравнения (3.30)

 

где

кН.

Тогда

кН.

 

Из уравнения (3.31)

 

но

м,

тогда

кН×м.

 

Проверим правильность решения, составив уравнение моментов относительно точки С:

 

 

Или, подсчитав числовые значения, получим:

;

;

.

Задача решена верно.

Значения составляющих RAX и RAY получились со знаком «минус». Это означает, что предварительно выбранное направление оказалось ошибочным. Фактическое направление будет обратным, т. е. составляющая RAX направлена влево, а RAY - вниз.

Полная реакция опоры :

;

 

кН.

 

Ответ: кН; кН×м.

 

Пример 87. Для балки (рис. 3.51) определить реакции опоры защемления в точке А, если кН/м, кН и кН×м.

 

 

Рис. 3.51.

К примеру 87

 

Решение. Освобождаем балку от связей (заделки) и заменяем связи силами реакций связей. В этом случае в точке А балки возникают силы реакции cвязи в виде силы RA и реактивного момента МА. кН (рис. 3.51, б). Выбираем систему координат X и Y с началом в точке А. Для решения задачи составляем три уравнения равновесия:

 

 

(Последнее уравнение принимают в качестве проверочного). Уравнения равновесия принимают вид

 

; ; (3.32)

 

; ; (3.33)

 

; . (3.34)

 

Из уравнения (3.32) реактивный момент:

 

,

или

кН×м.

 

Из уравнения (3.33):

 

кН.

 

Из уравнения (3.34) получаем 72 - 36 - 36 = 0. Следовательно, реакции MА и RA опоры А защемления балки по величине определены верно, направление реакции МА необходимо изменить на обратное.

 

Ответ: кН; кН×м.

Пример 88. Для заданной консольной балки (рис. 3.52,a) определить опорные реакции заделки.

 

 

Рис. 3.52. примеру 88

 

Решение. Рассматриваем равновесие балки АВ. К ней приложены заданные активные силы F1, F2 и момент М. Рассматривая тело АВ как свободное, отбрасываем связь (заделку), заменяя ее действие реакциями - реактивным моментом MA и составляющими реакциями RAX и RAY по осям координат. Расчетная схема изображена на рис. 3.52, б. Для получения плоской произвольной системы сил составляем три уравнения равновесия, выбрав в качестве центра моментов точку А (точку пересечения двух неизвестных сил):

1).

откуда кН×м.

2).

3).

Составляем проверочное уравнение равновесия:

 

Следовательно, реакции определены верно. Реакция RAY получилась отрицательной, значит, ее действительное направление противоположно предварительно выбранному. Примененная система уравнений равновесия наиболее целесообразна при рассмотрении равновесия любых консольных балок.

Полная реакция опоры :

 

кН.

 

Ответ: кН; кН×м.

 

Пример 89.

Определить реакции опор балки (рис. 3.53), если кН, кН, кН×м, кН×м, кН/м, кН/м.

Рис. 3.53. К примеру 89

 

Решение. Рассматриваем равновесие балки СА. К ней приложены заданные сосредоточенные силы F1, F2, равномерно распределённые нагрузки q1, q2 и моменты M1, M2. Рассматривая тело СА как свободное, отбрасываем связь (заделку), заменяя ее действие реакциями - реактивным моментом MA и составляющими реакциями RAX и RAY по осям координат. Расчетная схема изображена на рис. 3.53. Для получения плоской произвольной системы сил составляем три уравнения равновесия, выбрав в качестве центра моментов точку А (точку пересечения двух неизвестных сил):

 

Отсюда:

кН×м;

кН;

кН.

 

Составляем проверочное уравнение равновесия:

 

Значит, реакции определены верно. Реакция RAY и реактивный момент MA получились отрицательными, следовательно, их действительные направления противоположны предварительно выбранным.

Полная реакция опоры :

;

кН.

Ответ: кН; кН×м.

Пример 90. Механизм манипулятора, состоящий из трёх звеньев, соединённых шарнирами, в положении равновесия расположен в вертикальной плоскости (рис. 3.54, а).

Длины и массы звеньев: l1 = 1,2 м; l2 = 0,7 м; m1 = 55 кг; m2 = 40 кг; углы a01 = p/3, a12 = p/6. Найти моменты сил приводов в шарнирах А и В, если рука ВС манипулятора удерживает деталь, масса которой m = 30 кг. Звенья считать однородными стержнями.

Решение. На звенья манипулятора действуют силы тяжести G1, G2, приложенные в середине звеньев 1 и 2, сила тяжести детали G, приложенная в точке С звена 2 (рис. 3.54, б). Все силы направлены вертикально вниз.

 

Рис. 3.54. К примеру 90

 

Сначала вычислим проекции звеньев на ось Ах:

 

м;

м.

 

Моменты сил приводов в шарнирах:

;

Н×м;

;

;

Н×м.

 

Моменты МА и МВ – это реактивные моменты, направленные против хода часовой стрелки.

 

Ответ: Н×м; Н×м.

 

Пример 91. Пример имеет своим прототипом схему подъема мачтовых опор ЛЭП с помощью тягачей (рис. 3.55).

Рис. 3.55. К примеру 91

 

Рассмотрим эту схему.

Мачта АВ, лежащая возле заранее подготовленного фундамента, соединяется с ним шарниром А. Затем с помощью канатной тяги ВDС она поднимается до вертикального положения.

При этом вспо-

могательная штанга КD облегчает работу в начальной стадии подъема, отводя направление тяги несколько вверх. Здесь осуществляется типичный случай равновесия трех сил, расположенных в одной плоскости (в данном случае - в вертикальной). Эти силы сходятся в некоторой точке О, определяемой пересечением каната с линией силы тяжести мачты. Искомая реакция также выходит на эту точку.

Графическое решение задачи состоит в том, что считая силу тяжести мачты, а также ее угол и угол каната с горизонтом известными, необходимо построить на векторе F в определенном масштабе замкнутый силовой треугольник при точке О, которую выгодно вынести в сторону от основного чертежа. Стороны треугольника должны быть строго параллельны направлениям искомых сил, тогда величины этих сил будут найдены прямым измерением сторон треугольника в миллиметрах и умножением их на выбранный масштаб.

Аналитическое решение задачи состоит в использовании уравнений равновесия, система которых для произвольных сил на плоскости имеет вид:

;

; (3.35)

 

Решение показано на несколько видоизмененной схеме (рис. 3.56).

Рис. 3.56. К примеру 91

Пусть мачта АВ в данный момент подъема составляет с горизонтом угол, равный 75°, а тяга ВК наклонена к горизонту под углом 35°. Угол между мачтой и канатом получается равным 40°. Пусть центр тяжести С делит длину мачты на отрезки а = 7 м и b = 12 м. Вес мачты Н (масса - 14 т). Требуется определить силу N натяжения каната и реакцию опоры .

Решение. За начало координат принять шарнир А, направив ось Х в сторону наклона мачты, а ось Y - вверх. Тогда уравнение моментов примет вид

 

(3.36)

 

где (плечо силы N относительно центра моментов А).

Отсюда

Н.

 

Уравнения проекций сил на координатные оси:

 

;

(3.37)

,

 

откуда

Н;

Н.

 

Положительные значения реакций указывают на то, что их направления на чертеже выбраны верно (не забудьте, что ось Х здесь направлена влево!).

Полная реакция шарнира RA:

;

Н.

 

Её угол с горизонтом легко определяется по тангенсу.

Для проверки решения нужно убедиться, что линия действия реакции RA действительно выходит на точку пересечения линий сил F и N.

 

Ответ: Н; Н.

 

Пример 92. Пластинка ОА, поворачиваясь относительно оси шарнира О, может устанавливаться под любым углом к горизонту (рис. 3.57, а). На пластинке лежит тело В весом G. Определить наибольший угол a наклона пластинки, при котором тело будет оставаться в равновесии.

 

а) б)

 

 

Рис. 3.57. К примеру 92

 

Решение. Примем систему координат Оху. На тело В действуют сила тяжести G, нормальная реакция R и сила трения Ff (рис. 3.57, б).

Составим уравнения равновесия тела:

; ;

; ,

из которых найдём

.

Заметим, что отношение силы трения Ff к нормальной реакции R есть коэффициент трения f. Тогда угол a будет углом трения j: f = tgj. Таким образом, для равновесия тела необходимо, чтобы выполнялось условие a £ j.

С помощью рассматриваемого простого устройства можно экспериментально определять коэффициенты трения скольжения.

Например, в момент начала движения стального бруска по стальной пластине следовательно, коэффициент трения стали по стали

 

Ответ:

 

Пример 93.

Груз весом G = 280 Н подвешен в точке Е горизонтальной балки АВ весом G1 = 160 H. Балка АВ укреплена при помощи шарнира А и свободно опирается концом В на балку СD весом G2 = 120 H. Балка CD имеет шарнир С и концом D опирается на гладкую вертикальную стену. Расстояние АЕ = 1/4 АВ; CB = 1/3 CD. Определить реакции опор A, C и D (рис. 3.58).

Рис. 3.58. К примеру 93

 

Решение. Реакции шарниров А и С, не известные по направлению, разложим на составляющие RAX, RAY, RCX, RCY. Реакция стены RD направлена перпендикулярно к ней (рис. 3.59, a). Пять неизвестных величин RAX, RAY, RCX, RCY, RD нельзя определить из системы трех уравнений равновесия. Поэтому произведем расчленение балок, т. е. рассмотрим отдельно равновесие сил, приложенных к каждой из балок.

На балку АВ действуют заданные силы веса G и G1, составляющие RAX, RAY реакции шарнира А и реакция RB балки CD, направленная по нормали к ее поверхности (рис. 3.59, б).

 

а) б)

Рис. 3.59. К примеру 93

 

На балку CD действуют вес балки G2, приложенный в середине CD, реакция балки АВ, равная по модулю реакции RB и противоположная ей, составляющие RCX, RCY реакции шарнира С и реакция стены RD.

Составим по три уравнения равновесия сил, действующих на каждую балку, и определим шесть неизвестных величин RAX, RAY, RCX, RCY, RD, .

Для сил, приложенных к балке АВ, получим:

 

; ;

; ; (3.38)

; .

 

Для сил, приложенных к балке CD:

 

;

; (3.39)

;

.

 

Из системы уравнений (3.38) имеем:

 

Н;

Н;

Н.

 

Так как , из системы уравнений (3.39) следует, что

 

Н;

Н;

Н.

 

Знаки в ответах показывают, что сила RCX направлена влево, а действительные направления остальных сил совпадают с указанными на схеме.

Полная реакция опоры :

;

Н.

 

Полная реакция опоры :

;

Н.

Ответ: Н; Н; Н.

Пример 94. Две балки АВ и ВС одинаковой длины l = 3 м соединены между собой шарниром В (рис. 3.60, а). Конец А балки АВ заделан в вертикальной стене, а конец С балки ВС опирается на подвижную опору, расположенную под углом a1 = 30° к оси балки ВС. На балку АВ по всей её длине действует равномерно распределённая нагрузка интенсивностью q = 3 кH/м. На балку ВС действует сила F = 10 кH, приложенная в середине балки под углом a = 60° к её оси. Определить реакции опор А и С, а также в шарнире В, пренебрегая силами тяжести балок.

 

 

Рис. 3.60. К примеру 94

 

Предыдущая статья:Решение.. (Момент силы относительно точки). Следующая статья:Решение. Составная балка АВС находится в равновесии, следовательно, балки АВ и ВС также находятся в равновесии.. (Момент силы относительно точки).
page speed (0.4828 sec, direct)