Всего на сайте:
148 тыс. 196 статей

Главная | Статистика

Суммирование систематических погрешностей.  Просмотрен 214

Независимо от того, к какому виду относится измерение, является ли оно прямым, косвенным, совместным или совокупным, систематическая погрешность результата измерения оценивается, как правило, по ее известным составляющим. Поскольку в каждом конкретном случае каждая систематическая составляющая является либо постоянной, либо известен закон ее изменения, то суммарная (результирующая) погрешность представляет собой алгебраическую сумму составляющих:

 

10.3. Случайные погрешности. Вероятностное описание результатов и погрешностей

 

Когда при проведении в одинаковых условиях повторных измерений одной и той же постоянной величины получаем результаты, отличающиеся друг от друга, это свидетельствует о наличии в них случайных погрешностей. Эта погрешность возникает вследствие одновременного воздействия на результат многих случайных возмущений и сама является случайной величиной. В этом случае предсказать результат отдельного измерения и исправить его введением поправки невозможно. Можно лишь с определенной долей уверенности утверждать, что истинное значение измеряемой величины находится в пределах разброса результатов наблюдений от хmin до хmax, где хmin и хmax – соответственно нижняя и верхняя граница разброса.

Для установления вероятностных (статистических) закономерностей появления случайных погрешностей и количественной оценки результата измерений и его случайной погрешности используются методы теории вероятностей и математической статистики.

Для характеристики свойств случайной величины в теории вероятностей используют понятие закона распределения вероятностей случайной величины. Различают две формы описания закона распределения: интегральную и дифференциальную.

В метрологии преимущественно используется дифференциальная форма – закон распределения плотности вероятностей случайной величины.

Рассмотрим формирование дифференциального закона.

1. Проведем n измерений одной величины Х.

2. Получим группу наблюдений х1; х2,…,хn.

3. Расположим результаты в порядке возрастания от хmin до хmax.

4. Найдем размах ряда L=хmax - хmin.

5. Разделим размах ряда на k равных интервалов ∆l=L/k.

6. Подсчитаем количество наблюдений nk, попадающих в каждый интервал.

7. Изобразим полученные результаты графически (по оси абсцисс – значения физической величины с границами интервалов; по оси ординат – относительная частота попаданий nk/n.

8. Достроив по полученным точкам соответствующие прямоугольники получим гистограмму, дающую представление о плотности распределения результатов наблюдений в данном опыте.

 

Пример. N=50 измерений.

N интервала      
nk      
nk/n 0,1 0,2 0,36 0,22 0,12

 

 

Рис.10.6. Гистограмма

Если распределение случайной величины статистически устойчиво, то можно ожидать, что при повторных сериях наблюдений той же величины в тех же условиях, относительные частоты попаданий в каждый интервал будут близки к первоначальным. Следовательно, по гистограмме можно предсказывать распределение результатов измерений по интервалам.

При бесконечном увеличении числа наблюдений n→∞ и бесконечном уменьшении ширины интервалов Δl→0, ступенчатая кривая, огибающая гистограмму, перейдет в плавную кривую f(x), которая называется кривой плотности распределения вероятностей случайной величины, а уравнение ее описывающие дифференциальным законом распределения.

 

Рис.10.7. Кривая плотности распределения вероятностей

 

Кривая плотности распределения вероятностей всегда неотрицательна и подчинена условию нормирования в виде:

Если известен закон распределения случайной величины f(x), то вероятность Р ее попадания в интервал от х1 до х2

.

Кроме непрерывных случайных величин в метрологической практике встречаются и дискретные случайные величины. Пример распределения дискретной случайной величины приведен на рис.10.8.

Рис.10.8. Распределение дискретной случайной величины

Для описания частных свойств случайной величины используют числовые характеристики распределений. В качестве числовых характеристик выступают моменты случайных величин: начальные и центральные. Все они представляют собой некоторые средние значения. Причем, если усредняются величины, отсчитываемые от начала координат, моменты называют начальными, а если от центра закона распределения, то центральными.

Начальный момент k-го порядка определяется формулой

;

,

где рi – вероятность появления дискретной величины.

Здесь и ниже первая формула относится к непрерывным, а вторая к дискретным случайным величинам.

Из начальных моментов наибольший интерес представляет математическое ожидание случайной величины (k=1),

;

.

Центральные моменты k-го порядка рассчитываются по формулам:

;

.

Из центральных моментов особенно важную роль играет второй момент (k=2), дисперсия случайной величины D

;

.

Дисперсия случайной величины характеризует рассеяние отдельных ее значений. Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины и выражает как бы мощность рассеяния относительно постоянной составляющей. Однако чаще пользуются положительным корнем квадратным из дисперсии – средним квадратическим отклонением (СКО), которое имеет размерность самой случайной величины.

 

Предыдущая статья:Результаты наблюдений Следующая статья:Л11. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
page speed (0.017 sec, direct)